设 $f(x) = -\frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2ax$.

(1) 若 $f(x)$ 在 $\left(\frac{2}{3}, +\infty\right)$ 上存在单调递增区间，求 $a$ 的取值范围； (2) 当 $0 < a < 2$ 时，$f(x)$ 在 $[1, 4]$ 上的最小值为 $-\frac{16}{3}$，求 $f(x)$ 在该区间上的最大值.