已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），右焦点为 $F\left(\sqrt2,0\right)$，其离心率为 $\dfrac{\sqrt6}{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $M$，$N$ 是椭圆 $C$ 上的两点，直线 $MN$ 与曲线 $x^2+y^2=b^2$（$x>0$） 相切. 证明：$M$，$N$，$F$ 三点共线的充要条件是 $|MN|=\sqrt3$.