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14
函数与初等函数
★★★★☆
已知函数
y
=
∣
x
2
−
1
∣
x
−
1
y = \frac{|x^2 - 1|}{x - 1}
y
=
x
−
1
∣
x
2
−
1∣
的图象与函数
y
=
k
x
−
2
y = kx - 2
y
=
k
x
−
2
的图象恰有两个交点，则实数
k
k
k
的取值范围是______.
2012 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题
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18
数列
★★★★☆
已知
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
是等差数列，其前
n
n
n
项和为
S
n
S_{n}
S
n
，
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
是等比数列，且
a
1
=
b
1
=
2
a_{1} = b_{1} = 2
a
1
=
b
1
=
2
，
a
4
+
b
4
=
27
a_{4} + b_{4} = 27
a
4
+
b
4
=
27
，
S
4
−
b
4
=
10
S_{4} - b_{4} = 10
S
4
−
b
4
=
10
.
(1) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
与
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
的通项公式； (2) 记
T
n
=
a
n
b
1
+
a
n
−
1
b
2
+
⋯
+
a
1
b
n
T_{n} = a_{n}b_{1} + a_{n - 1}b_{2} + \dots +a_{1}b_{n}
T
n
=
a
n
b
1
+
a
n
−
1
b
2
+
⋯
+
a
1
b
n
，
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
，证明
T
n
+
12
=
−
2
a
n
+
10
b
n
T_{n} + 12 = -2a_{n} + 10b_{n}
T
n
+
12
=
−
2
a
n
+
10
b
n
（
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）.
2012 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题
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19
解析几何
★★★★☆
设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
a
2
x
2
+
b
2
y
2
=
1
（
a
>
b
>
0
a > b > 0
a
>
b
>
0
）的左，右顶点分别为
A
A
A
，
B
B
B
，点
P
P
P
在椭圆上且异于
A
A
A
，
B
B
B
两点，点
O
O
O
为坐标原点.
(1) 若直线
A
P
AP
A
P
与
B
P
BP
B
P
的斜率之积为
−
1
2
-\frac{1}{2}
−
2
1
，求椭圆的离心率； (2) 若
∣
A
P
∣
=
∣
O
A
∣
\left|AP\right|=\left|OA\right|
∣
A
P
∣
=
∣
O
A
∣
，证明直线
O
P
OP
O
P
的斜率
k
k
k
满足
∣
k
∣
>
3
\left|k\right|>\sqrt{3}
∣
k
∣
>
3
.
2012 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题
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