设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右顶点分别为 $A$，$B$，点 $P$ 在椭圆上且异于 $A$，$B$ 两点，点 $O$ 为坐标原点.

(1) 若直线 $AP$ 与 $BP$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，求椭圆的离心率； (2) 若 $\left|AP\right|=\left|OA\right|$，证明直线 $OP$ 的斜率 $k$ 满足 $\left|k\right|>\sqrt{3}$.