已知 $m \in \mathbf{R}$，直线 $l: mx - (m^2 + 1)y = 4m$ 和圆 $C: x^2 + y^2 - 8x + 4y + 16 = 0$.

(1) 求直线 $l$ 斜率的取值范围； (2) 直线 $l$ 能否将圆 $C$ 分割成弧长的比值为 $\frac{1}{2}$ 的两段圆弧？为什么？

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $m^{2}+1>0$，直线 $l$ 可写为 $y=\frac{m}{m^{2}+1}x-\frac{4m}{m^{2}+1}$，所以其斜率为 $k=\frac{m}{m^{2}+1}$. 由 $m^{2}+1\geqslant2|m|$ 得 $|k|=\frac{|m|}{m^{2}+1}\leqslant\frac{1}{2}$. 当 $m=1$ 或 $m=-1$ 时等号成立. 又 $k(m)$ 在 $m\geqslant0$ 上连续，并在 $m=1$ 处取得最大值 $\frac12$，在 $m\leqslant0$ 上取得从 $-\frac12$ 到 $0$ 的所有值，因此斜率的取值范围为

\item 将圆 $C$ 的方程配方，得 $(x-4)^2+(y+2)^2=4$. 故圆心为 $O(4,-2)$，半径为 $2$. 若一条弦把圆分成弧长比为 $1:2$ 的两段圆弧，则较短圆弧所对的圆心角为 $\frac{2\pi}{3}$，圆心到该弦所在直线的距离应为 $2\cos\left(\frac12\cdot\frac{2\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}=1$. 直线 $l$ 到圆心 $O$ 的距离为 若 $d=1$，则 $4(m^{2}+1)^{2}=m^{4}+3m^{2}+1$，即 $3m^{4}+5m^{2}+3=0$，这对任意实数 $m$ 都不可能成立. 因此直线 $l$ 不能把圆 $C$ 分割成弧长比为 $1:2$ 的两段圆弧. \end{enumerate} \end{solution}

如图，过圆 $O$ 外一点 $M$ 作它的一条切线. 切点为 $A$，过 $A$ 点作直线 $AP$ 垂直直线 $OM$，垂足为 $P$.

(1) 证明：$OM \cdot OP = OA^2$； (2) $N$ 为线段 $AP$ 上一点，直线 $NB$ 垂直直线 $ON$，且交圆 $O$ 于 $B$ 点. 过 $B$ 点的切线交直线 $ON$ 于 $K$. 证明：$\angle OKM = 90^{\circ}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设圆 $O$ 的半径为 $r$. 因为 $MA$ 是切线，所以 $OA\perp MA$，从而 $\triangle OAM$ 是直角三角形. 又 $AP\perp OM$，所以 $AP$ 是直角三角形 $OAM$ 斜边 $OM$ 上的高. 由直角三角形斜边上的高的性质，得 $OA^{2}=OM\cdot OP$.

\item 建立平面直角坐标系，使 $O$ 为原点，$OM$ 为 $x$ 轴. 设 $M(m,0)$，$A(p,q)$，且 $p^{2}+q^{2}=r^{2}$. 因为 $OA\perp MA$，有 $(p,q)\cdot(m-p,-q)=0$，即 $mp=p^{2}+q^{2}=r^{2}$. 由 $AP\perp OM$，得 $P(p,0)$. 设 $N(p,n)$，并记 $s=p^{2}+n^{2}$. 直线 $NB\perp ON$，所以若 $B(u,v)$，则 圆在 $B$ 点的切线方程为 $ux+vy=r^{2}$. 设切线与直线 $ON$ 的交点为 $K$. 因为 $K\in ON$，可设 $K=\lambda(p,n)$. 将其代入 $B$ 点的切线方程，得到 $\lambda(pu+nv)=\lambda s=r^{2}$，所以 $\lambda=\frac{r^{2}}{s}$，于是 $K=\frac{r^{2}}{s}(p,n)$. 由 $M=(m,0)$ 及 $mp=r^{2}$，有 故 $OK\perp KM$，即 $\angle OKM=90^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}