如图，已知抛物线 $C_{1}: x^{2} + by = b^{2}$ 经过椭圆 $C_{2}: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （$a > b > 0$） 的两个焦点.

(1) 求椭圆 $C_2$ 的离心率； (2) 设 $Q(3, b)$，又 $M$，$N$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $\triangle QMN$ 的重心在抛物线 $C_1$ 上，求 $C_1$ 和 $C_2$ 的方程.