如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种.

设 $\{b_n\}$ 是集合 $\{2^{r} + 2^{s} + 2^{t} \mid 0 \leqslant r < s < t,\ r, s, t \in \mathbf{Z}\}$ 中所有的数从小到大排列成的数列，已知 $b_k = 1160$，求 $k$.