设圆满足：

① 截 $y$ 轴所得弦长为 $2$； ② 被 $x$ 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 $3:1$.

在满足上述两条件的所有圆中，求圆心到直线 $l\colon x - 2y = 0$ 的距离最小的圆的方程.