设二次函数 $f(x) = ax^{2} + bx + c$（$a > 0$），方程 $f(x) - x = 0$ 的两个根 $x_{1}$，$x_{2}$ 满足 $0 < x_{1} < x_{2} < \frac{1}{a}$.

(1) 当 $x \in (0, x_{1})$ 时，证明 $x < f(x) < x_{1}$； (2) 设函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x = x_{0}$ 对称，证明 $x_{0} < \frac{x_{1}}{2}$.