如图，在正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$E$，$F$ 分别是 $BB_{1}$，$CD$ 的中点.

(1) 证明：$AD \perp D_{1}F$； (2) 求 $AE$ 与 $D_{1}F$ 所成的角； (3) 证明：面 $AED$ $\perp$ 面 $A_{1}FD_{1}$； (4) 设 $AA_{1} = 2$，求三棱锥 $F - A_{1}ED_{1}$ 的体积.