已知曲线 $C: x = -\sqrt{4 - y^2}$，直线 $l: x = 6$. 若对于点 $A(m,0)$，存在 $C$ 上的点 $P$ 和 $l$ 上的 $Q$ 使得 $\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}$，则 $m$ 的取值范围为______.

\begin{answer} $[2,3]$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $P=(x,y)$，则由曲线方程知 $-2\leqslant x\leqslant0$，且 $Q$ 在直线 $x=6$ 上. 向量等式等价于 $P+Q=2A=(2m,0)$，所以 $Q=(6,-y)$，并且 $2m=x+6$. 因此 $m=\dfrac{x+6}{2}$，随 $x\in[-2,0]$ 取遍 $[2,3]$. 反过来，左半圆上每个 $x\in[-2,0]$ 都有相应的 $y$，故区间内每个 $m$ 都能实现，所求范围为 $[2,3]$. \end{solution}

如图，某公司要在 $A$，$B$ 两地连线上的定点 $C$ 处建造广告牌 $CD$，其中 $D$ 为顶端，$AC$ 长 $35\text{ 米}$，$CB$ 长 $80\text{ 米}$. 设点 $A$，$B$ 在同一水平面上，从 $A$ 和 $B$ 看 $D$ 的仰角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$.

(1) 设计中 $CD$ 是铅垂方向. 若要求 $\alpha \geqslant 2\beta$，问 $CD$ 的长至多为多少（结果精确到 $0.01\text{ 米}$）？ (2) 施工完成后，$CD$ 与铅垂方向有偏差. 现在实测得 $\alpha = 38.12^{\circ}$，$\beta = 18.45^{\circ}$，求 $CD$ 的长（结果精确到 $0.01\text{ 米}$）.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $CD=h\text{ 米}$. 因为 $CD$ 铅垂，所以在两个直角三角形中有 $\tan\alpha=\dfrac h{35}$、$\tan\beta=\dfrac h{80}$. 由 $\alpha\geqslant2\beta$ 且 $\alpha<\dfrac\pi2$，可知 $2\beta<\dfrac\pi2$，故 $h<80$，正切函数在相关区间上单调递增. 因此 $\dfrac h{35}\geqslant\tan2\beta=\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}=\dfrac{2\frac{h}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}$. 由于 $h>0$ 且 $h<80$，可约去 $h$，并得到 $\dfrac1{35}\geqslant\dfrac{\frac{2}{80}}{1-\frac{h^2}{80^2}}=\dfrac1{40\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)}$. 分母为正，交叉相乘得 $40\left(1-\frac{h^2}{6400}\right)\geqslant35$，即 $h^2\leqslant800$. 所以 $h\leqslant20\sqrt2\approx28.2843$，故 $CD$ 至多为 $28.28\text{ 米}$. \item 由 $AB=AC+CB=115\text{ 米}$，在三角形 $ADB$ 中有 $\angle DAB=38.12^{\circ}$、$\angle ABD=18.45^{\circ}$. 由正弦定理， $\dfrac{BD}{\sin38.12^{\circ}}=\dfrac{115}{\sin\left(38.12^{\circ}+18.45^{\circ}\right)}$，所以 $BD=\dfrac{115\sin38.12^{\circ}}{\sin56.57^{\circ}}\approx85.0637\text{ 米}$. 在三角形 $BCD$ 中，$BC=80\text{ 米}$，且 $\angle CBD=18.45^{\circ}$. 由余弦定理， $CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cos18.45^{\circ}$，从而 $CD\approx\sqrt{80^2+85.0637^2-2\cdot80\cdot85.0637\cos18.45^{\circ}}\approx26.9296\text{ 米}$. 精确到 $0.01\text{ 米}$ 得 $CD=26.93\text{ 米}$. \end{enumerate} \end{solution}

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于直线 $l: ax + by + c = 0$ 和点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$，$P_{2}(x_{2}, y_{2})$，记 $\eta = (ax_{1} + by_{1} + c)(ax_{2} + by_{2} + c)$. 若 $\eta < 0$，则称点 $P_{1}$，$P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔. 若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_{1}$，$P_{2}$ 被直线 $l$ 分隔，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分隔线.

(1) 求证：点 $A(1,2)$，$B(-1,0)$ 被直线 $x + y - 1 = 0$ 分隔； (2) 若直线 $y = kx$ 是曲线 $x^2 - 4y^2 = 1$ 的分隔线，求实数 $k$ 的取值范围； (3) 动点 $M$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 $1$，设点 $M$ 的轨迹为 $E$. 求 $E$ 的方程，并证明 $y$ 轴为曲线 $E$ 的分隔线.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对直线 $x+y-1=0$，分别计算得 $1+2-1=2$、$-1+0-1=-2$，两者乘积为 $-4<0$，所以点 $A$、$B$ 被该直线分隔. \item 将直线 $y=kx$ 代入曲线方程，得 $(1-4k^2)x^2=1$. 直线与曲线没有公共点的充要条件是 $1-4k^2\leqslant0$，即 $|k|\geqslant\dfrac12$. 当 $|k|\geqslant\dfrac12$ 时，曲线上两点 $(1,0)$、$(-1,0)$ 对直线 $y-kx=0$ 的代数式值分别为 $-k$、$k$，其乘积为 $-k^2<0$，所以确实存在被直线分隔的两点. 因此 $k\in\left(-\infty,-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac12,+\infty\right)$. \item 设 $M=(x,y)$. 到点 $Q(0,2)$ 的距离为 $\sqrt{x^2+(y-2)^2}$，到 $y$ 轴的距离为 $|x|$. 由题意得 $|x|\sqrt{x^2+(y-2)^2}=1$. 两边均非负，平方后得到轨迹方程 $\bigl(x^2+(y-2)^2\bigr)x^2=1$. $y$ 轴的方程为 $x=0$，代入上述方程得 $0=1$，所以 $y$ 轴与曲线 $E$ 没有公共点. 又 $(1,2)$、$(-1,2)$ 均满足曲线方程，而它们代入直线 $x=0$ 的代数式所得值为 $1$、$-1$，乘积小于零，因此这两点被 $y$ 轴分隔，故 $y$ 轴是曲线 $E$ 的分隔线. \end{enumerate} \end{solution}