已知点 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$ 是函数 $f(x) = a^x$（$a > 0$，$a \neq 1$）的图象上一点. 等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $f(n) - c$. 数列 $\{b_n\}$（$b_n > 0$）的首项为 $c$，且前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n - S_{n-1} = \sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}}$（$n \ge 2$）.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 若数列 $\left\{\frac{1}{b_n b_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，问满足 $T_n > \frac{1000}{2009}$ 的最小正整数 $n$ 是多少？