设函数 $f(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^{2x}} + c$（$\mathrm{e} = 2.71828\cdots$ 是自然对数的底数，$c \in \mathbf{R}$）.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间，最大值； (2) 讨论关于 $x$ 的方程 $\lvert \ln x \rvert = f(x)$ 的根的个数.