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16
函数与初等函数
★★★★☆
定义“正对数”：
ln
+
x
=
{
0
,
0
<
x
<
1
,
ln
x
,
x
⩾
1.
\ln^+x = \begin{cases} 0, & 0 < x < 1,\\ \ln x, & x \geqslant 1. \end{cases}
ln
+
x
=
{
0
,
ln
x
,
0
<
x
<
1
,
x
⩾
1.
现有四个命题：
① 若
a
>
0
a > 0
a
>
0
，
b
>
0
b > 0
b
>
0
，则
ln
+
(
a
b
)
=
b
ln
+
a
\ln^+(a^b) = b\ln^+a
ln
+
(
a
b
)
=
b
ln
+
a
； ② 若
a
>
0
a > 0
a
>
0
，
b
>
0
b > 0
b
>
0
，则
ln
+
(
a
b
)
=
ln
+
a
+
ln
+
b
\ln^+(ab) = \ln^+a + \ln^+b
ln
+
(
ab
)
=
ln
+
a
+
ln
+
b
； ③ 若
a
>
0
a > 0
a
>
0
，
b
>
0
b > 0
b
>
0
，则
ln
+
(
a
b
)
⩾
ln
+
a
−
ln
+
b
\ln^+\!\left(\frac{a}{b}\right) \geqslant \ln^+a - \ln^+b
ln
+
(
b
a
)
⩾
ln
+
a
−
ln
+
b
； ④ 若
a
>
0
a > 0
a
>
0
，
b
>
0
b > 0
b
>
0
，则
ln
+
(
a
+
b
)
⩽
ln
+
a
+
ln
+
b
+
ln
2
\ln^+(a + b) \leqslant \ln^+a + \ln^+b + \ln 2
ln
+
(
a
+
b
)
⩽
ln
+
a
+
ln
+
b
+
ln
2
.
其中真命题有______. （写出所有真命题的编号）
2013 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题
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21
导数及其应用
★★★★☆
设函数
f
(
x
)
=
x
e
2
x
+
c
f(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^{2x}} + c
f
(
x
)
=
e
2
x
x
+
c
（
e
=
2.71828
⋯
\mathrm{e} = 2.71828\cdots
e
=
2.71828
⋯
是自然对数的底数，
c
∈
R
c \in \mathbf{R}
c
∈
R
）.
(1) 求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调区间，最大值； (2) 讨论关于
x
x
x
的方程
∣
ln
x
∣
=
f
(
x
)
\lvert \ln x \rvert = f(x)
∣
ln
x
∣
=
f
(
x
)
的根的个数.
2013 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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