设函数 $f(x) = \frac{x^2}{2} - k\ln x$，$k > 0$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间和极值； (2) 证明：若 $f(x)$ 存在零点，则 $f(x)$ 在区间 $(1, \sqrt{\mathrm{e}}]$ 上仅有一个零点.