两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放入棱长为 $1$ 的正方体内，使正四棱锥的底面 $ABCD$ 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）

请您设计一个帐篷. 它下部的形状是高为 $1\mathrm{~m}$ 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 $3\mathrm{~m}$ 的正六棱锥（如图所示）. 试问当帐篷的顶点 $O$ 到底面中心 $O_{1}$ 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

在正三角形 $ABC$ 中，$E$，$F$，$P$ 分别是 $AB$，$AC$，$BC$ 边上的点. 满足 $AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2$（如图1）. 将 $\triangle AEF$ 沿 $EF$ 折起到 $\triangle A_{1}EF$ 的位置. 使二面角 $A_{1}-EF-B$ 成直二面角，连接 $A_{1}B$，$A_{1}P$（如图2）.

(1) 求证：$A_{1}E \perp$ 平面 $BEP$； (2) 求直线 $A_{1}E$ 与平面 $A_{1}BP$ 所成角的大小； (3) 求二面角 $B - A_{1}P - F$ 的大小.（用反三角函数表示）