四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同，内空高度相等，杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为 $h_1$，$h_2$，$h_3$，$h_4$，则它们的大小关系正确的是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设四个杯子的内空高度均为 $H$，且杯口半径为 $H$，以杯底为高度 $0$. 前两个杯子分别是半球形杯和圆锥形杯. 对半球形杯，高度 $t$ 处的截面半径满足

故其从杯底到高度 $t$ 的容积为

$V_1(t)=\pi\int_0^t(2Hu-u^2)\,\mathrm du =\pi\left(Ht^2-\frac{t^3}{3}\right)$，$V_1(H)=\frac{2\pi H^3}{3}$.

对圆锥形杯，$t$ 处的截面半径为 $t$，所以

$V_2(t)=\pi\int_0^t u^2\,\mathrm du=\frac{\pi t^3}{3}$，$V_2(H)=\frac{\pi H^3}{3}$.

第四个杯子是圆柱，截面积处处相等，所以 $h_4=\frac{H}{2}$. 在半球形杯中，

故 $h_1>\frac{H}{2}=h_4$. 令 $u=2^{-\frac{1}{3}}$，则圆锥形杯装到一半容积时的相对高度为 $\frac{h_2}{H}=u$. 此时

因为 $u^2=2^{-\frac{2}{3}}>\frac12$. 半球形杯在高度 $uH$ 时已超过一半容积，所以 $h_1<uH=h_2$. 因此 故选 A. \end{solution}

如图，正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的棱长为 $1$，过点 $A$ 作平面 $A_{1}BD$ 的垂线，垂足为点 $H$. 有下列四个命题：

① 点 $H$ 是 $\triangle A_{1}BD$ 的垂心； ② $AH \perp$ 平面 $CB_{1}D_{1}$； ③ 二面角 $C - B_{1}D_{1} - C_{1}$ 的正切值为 $\sqrt{2}$； ④ 点 $H$ 到平面 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的距离为 $\frac{3}{4}$.

其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）

\begin{answer} A、B、C \end{answer}

\begin{solution} 建立空间直角坐标系，取 $A_1(0,0,0)$，$B_1(1,0,0)$，$C_1(1,1,0)$，$D_1(0,1,0)$ 并令 $A(0,0,1)$，$B(1,0,1)$，$C(1,1,1)$，$D(0,1,1)$. 平面 $A_1BD$ 的方程为 $z=x+y$，其一个法向量为 $(-1,-1,1)$. 从点 $A$ 向该平面作垂线，垂足为

先验证命题 A. 三角形 $A_1BD$ 的三条边方向向量可取 $\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$、$\overrightarrow{A_1D}=(0,1,1)$ 和 $\overrightarrow{A_1B}=(1,0,1)$. 有 $\overrightarrow{A_1H}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$，$\overrightarrow{BH}=\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)$，$\overrightarrow{DH}=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$. 于是 $\overrightarrow{A_1H}\cdot\overrightarrow{BD}=0$，$\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{A_1D}=0$，$\overrightarrow{DH}\cdot\overrightarrow{A_1B}=0$. 故 $H$ 同时在三条高上，是 $\triangle A_1BD$ 的垂心，命题 A 正确.

再验证命题 B. 平面 $CB_1D_1$ 内的两个不共线方向向量可取 $\overrightarrow{B_1D_1}=(-1,1,0)$ 和 $\overrightarrow{B_1C}=(0,1,1)$，其法向量可取 $(1,1,-1)$. 而 与该法向量平行，所以 $AH\perp$ 平面 $CB_1D_1$，命题 B 正确.

验证命题 C. 二面角 $C-B_1D_1-C_1$ 是平面 $CB_1D_1$ 与平面 $C_1B_1D_1$ 所成的角. 两个平面的法向量可分别取 $\boldsymbol{n}_1=(1,1,-1)$ 和 $\boldsymbol{n}_2=(0,0,1)$. 设二面角的锐角为 $\varphi$，则 从而 故命题 C 正确.

最后，平面 $A_1B_1C_1D_1$ 的方程为 $z=0$，所以点 $H$ 到该平面的距离为 所以命题 D 错误，前三个命题为真，结论与填空处一致. \end{solution}

如图是一个直三棱柱（以 $A_{1}B_{1}C_{1}$ 为底面）被一平面所截得到的几何体. 截面为 $ABC$. 已知 $A_{1}B_{1} = B_{1}C_{1} = 1$，$\angle A_{1}B_{1}C_{1} = 90^{\circ}$，$AA_{1} = 4$，$BB_{1} = 2$，$CC_{1} = 3$.

(1) 设点 $O$ 是 $AB$ 的中点，证明：$OC \parallel$ 平面 $A_{1}B_{1}C_{1}$； (2) 求 $AB$ 与平面 $AA_{1}C_{1}C$ 所成的角的大小； (3) 求此几何体的体积.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，取 $A_1(0,0,0)$，$B_1(1,0,0)$，$C_1(1,1,0)$，并令竖直方向为 $z$ 轴正方向，则 $A(0,0,4)$，$B(1,0,2)$，$C(1,1,3)$. $O$ 是 $AB$ 的中点，所以 $O\left(\frac{1}{2},0,3\right)$，从而 $\overrightarrow{OC}=\left(\frac{1}{2},1,0\right)$. 平面 $A_1B_1C_1$ 的方程为 $z=0$，而 $\overrightarrow{OC}$ 的竖直分量为 $0$，故直线 $OC$ 的方向平行于该平面；又 $O$ 不在 $z=0$ 上，所以 $OC\parallel$ 平面 $A_1B_1C_1$.

\item 平面 $AA_1C_1C$ 上的四个点都满足 $x=y$，故该平面的一个法向量为 $\boldsymbol{n}=(1,-1,0)$. 取 $\overrightarrow{AB}=(1,0,-2)$，设 $AB$ 与平面 $AA_1C_1C$ 所成的角为 $\varphi$，则 $\sin\varphi=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{AB}|\,|\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{5}\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$. 因此 $\cos\varphi=\frac{3}{\sqrt{10}}$，从而 $\tan\varphi=\frac{1}{3}$，即 $\varphi=\arctan\frac{1}{3}$.

\item 该几何体可分成三个互不重叠的四面体 $A_1B_1C_1A$，$B_1C_1AB$ 和 $C_1ABC$. 第一个四面体的底面 $A_1B_1C_1$ 面积为 $\frac{1}{2}$，高为 $4$，所以 $V_{A_1B_1C_1A}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot4=\frac{2}{3}$. 对于四面体 $B_1C_1AB$，取 $B_1$ 为基点，有 $\overrightarrow{B_1C_1}=(0,1,0)$，$\overrightarrow{B_1A}=(-1,0,4)$，$\overrightarrow{B_1B}=(0,0,2)$，所以

对于四面体 $C_1ABC$，取 $C_1$ 为基点，有 $\overrightarrow{C_1A}=(-1,-1,4)$，$\overrightarrow{C_1B}=(0,-1,2)$，$\overrightarrow{C_1C}=(0,0,3)$，所以

故几何体的体积为 $V=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}

设 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，$a_1 = 1$，$a_2 = 3$.

(1) 求最小的自然数 $n$，使 $a_n \geqslant 2007$； (2) 求和：$T_{2n} = \frac{1}{a_1} - \frac{2}{a_2} + \frac{3}{a_3} - \dots - \frac{2n}{a_{2n}}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 等比数列的公比为 $q=\frac{a_2}{a_1}=3$，所以 $a_n=3^{n-1}$. 由于 $3^6=729<2007\leqslant2187=3^7$，故 $n-1\geqslant7$，满足条件的最小自然数为 $n=8$.

\item 由 $a_k=3^{k-1}$，有 $T_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}k\left(-\frac{1}{3}\right)^{k-1}$. 令 $r\in\mathbf{R}$，由有限等比数列求和公式

两边对 $r$ 求导，得

令 $r=-\frac{1}{3}$，则

\end{enumerate} \end{solution}