四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同，内空高度相等，杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半. 设剩余酒的高度从左到右依次为 $h_1$，$h_2$，$h_3$，$h_4$，则它们的大小关系正确的是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 设四个杯子的内空高度均为 $H$，且杯口半径为 $H$，以杯底为高度 $0$. 前两个杯子分别是半球形杯和圆锥形杯. 对半球形杯，高度 $t$ 处的截面半径满足

故其从杯底到高度 $t$ 的容积为

$V_1(t)=\pi\int_0^t(2Hu-u^2)\,\mathrm du =\pi\left(Ht^2-\frac{t^3}{3}\right)$，$V_1(H)=\frac{2\pi H^3}{3}$.

对圆锥形杯，$t$ 处的截面半径为 $t$，所以

$V_2(t)=\pi\int_0^t u^2\,\mathrm du=\frac{\pi t^3}{3}$，$V_2(H)=\frac{\pi H^3}{3}$.

第四个杯子是圆柱，截面积处处相等，所以 $h_4=\frac{H}{2}$. 在半球形杯中，

故 $h_1>\frac{H}{2}=h_4$. 令 $u=2^{-\frac{1}{3}}$，则圆锥形杯装到一半容积时的相对高度为 $\frac{h_2}{H}=u$. 此时

因为 $u^2=2^{-\frac{2}{3}}>\frac12$. 半球形杯在高度 $uH$ 时已超过一半容积，所以 $h_1<uH=h_2$. 因此 故选 A. \end{solution}