平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $C_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的渐近线与抛物线 $C_2: x^2 = 2py$（$p > 0$）交于 $O$，$A$，$B$. 若 $\triangle OAB$ 的垂心为 $C_2$ 的焦点，则 $C_1$ 的离心率为______.

平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$. 左、右焦点分别是 $F_1$，$F_2$. 以 $F_1$ 为圆心、以 $3$ 为半径的圆与以 $F_2$ 为圆心、以 $1$ 为半径的圆相交，且交点在椭圆 $C$ 上.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) 设椭圆 $E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1$，$P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y = kx + m$ 交椭圆 $E$ 于 $A$，$B$ 两点，射线 $PO$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$.

(i) 求 $\frac{|OQ|}{|OP|}$ 的值； (ii) 求 $\triangle ABQ$ 面积的最大值.