如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，过 $y$ 轴正方向上一点 $C(0, c)$ 任作一直线，与抛物线 $y = x^{2}$ 相交于 $A$，$B$ 两点，一条垂直于 $x$ 轴的直线，分别与线段 $AB$ 和直线 $l: y = -c$ 交于 $P$，$Q$.

(1) 若 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$，求 $c$ 的值； (2) 若 $P$ 为线段 $AB$ 的中点，求证：$QA$ 为此抛物线的切线； (3) 试问第 2 小问的逆命题是否成立？说明理由.