如图，为处理含有某种杂质的水污染，要制造一底宽为 $2\text{ 米}$ 的无盖长方体沉淀箱，污水从 $A$ 汇流入，经沉淀后从 $B$ 汇流出. 设箱体的长度为 $a\text{ 米}$，高度为 $b\text{ 米}$. 已知流出的水中该杂质的质量分数与 $a$，$b$ 的乘积 $ab$ 成反比. 现有制箱材料 $60\text{ 平方米}$. 问当 $a$，$b$ 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. （$A$，$B$ 孔的面积忽略不计）

设曲线 $C$ 的方程是 $y = x^{3} - x$，将 $C$ 沿 $x$ 轴，$y$ 轴正向分别平行移动 $t$，$s$ 单位长度后得曲线 $C_{1}$.

(1) 写出曲线 $C_{1}$ 的方程； (2) 证明曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 关于点 $A\left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2}\right)$ 对称； (3) 如果曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 有且仅有一个公共点，证明 $s = \frac{t^{3}}{4} - t$ 且 $t \neq 0$.