如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABC$，$PA = AB$，$\angle ABC = 60^\circ$，$\angle BCA = 90^\circ$，点 $D$，$E$ 分别在棱 $PB$，$PC$ 上，且 $DE \parallel BC$.

(1) 求证：$BC \perp$ 平面 $PAC$； (2) 当 $D$ 为 $PB$ 的中点时，求 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成的角的大小； (3) 是否存在点 $E$ 使得二面角 $A - DE - P$ 为直二面角？ 并说明理由.