如图所示的四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp \text{平面} ABCD$，$BC \parallel AD$，$AB \perp AD$.

(1) 证明：平面 $PAB \perp \text{平面} PAD$； (2) $PA = AB = \sqrt{2}$，$BC = 2$，$AD = 1 + \sqrt{3}$，点 $P$，$B$，$C$，$D$ 均在球 $O$ 的球面上.

(i) 证明：$O$ 在平面 $ABCD$ 上； (ii) 求直线 $AC$ 与直线 $PO$ 所成角的余弦值.