已知抛物线 $C: y^{2} = 8x$ 与点 $M(-2, 2)$，过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，若 $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$，则 $k =$（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 由 $y^2=8x=4\cdot2x$，抛物线的焦点为 $F(2,0)$. 因为直线与抛物线交于两个不同的点，所以其斜率 $k\ne0$. 设两个交点分别对应参数 $t$，$u$，则可写为 $A(2t^2,4t)$，$B(2u^2,4u)$. 由于 $A$，$B$，$F$ 共线，直线方程为 $y=k(x-2)$，代入参数式得 $4t=2k(t^2-1)$，$4u=2k(u^2-1)$. 因而 $t$，$u$ 是方程 $kt^2-2t-k=0$ 的两根，故 $t+u=\frac{2}{k}$，$tu=-1$. 又 $\overrightarrow{MA}=(2t^2+2,4t-2)$，$\overrightarrow{MB}=(2u^2+2,4u-2)$， 由题设垂直得 利用 $tu=-1$，并令 $s=t+u$，括号内的式子化为 所以 $s=1$，即 $\frac{2}{k}=1$，解得 $k=2$. 故选 D. \end{solution}

已知圆 $O$ 和圆 $K$ 是球 $O$ 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$ 的半径，$OK = \frac{3}{2}$，且圆 $O$ 与圆 $K$ 所在的平面所成的一个二面角为 $60^{\circ}$，则球 $O$ 的表面积等于______.

\begin{answer} $16\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 设球 $O$ 的半径为 $R$，两圆公共弦的中点为 $H$. 公共弦长为 $R$， 所以半弦长为 $\frac{R}{2}$. 因为圆 $O$ 是大圆，其半径为 $R$，在大圆所在平面内有 圆 $K$ 所在平面到球心的距离为 $OK=\frac{3}{2}$，故圆 $K$ 的半径满足 $r_K^2=R^2-\frac{9}{4}$. 在圆 $K$ 所在平面内，半弦长为 $\frac{R}{2}$，圆半径为 $r_K$，圆心到弦的距离为 $KH$，因此 从而 $KH=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{R^2-3}$. 两平面所成的锐二面角为 $60^{\circ}$， 在垂直于公共弦的截面内可取 $\angle OHK=60^{\circ}$. 由于公共弦在圆 $K$ 内确实存在， $KH>0$，所以 $R^2>3$. 在三角形 $OHK$ 中由余弦定理， 化简得 $R\sqrt{R^2-3}=2(R^2-3)$. 由于 $R^2>3$，可约去 $\sqrt{R^2-3}$， 得到 $R=2\sqrt{R^2-3}$，从而 $R^2=4$. 因此球的表面积为 $4\pi R^2=16\pi$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3x + 1$.

(1) 当 $a = -\sqrt{2}$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $x \in [2, +\infty)$ 时，$f(x) \geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围.

已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > 0$，$b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，离心率为 3，直线 $y = 2$ 与 $C$ 的两个交点间的距离为 $\sqrt{6}$.

(1) 求 $a$，$b$； (2) 设过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的左，右两支分别交于 $A$，$B$ 两点，且 $|AF_{1}| = |BF_{1}|$，证明：$|AF_{2}|$，$|AB|$，$|BF_{2}|$ 成等比数列.