已知圆 $O$ 和圆 $K$ 是球 $O$ 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 $O$ 的半径，$OK = \frac{3}{2}$，且圆 $O$ 与圆 $K$ 所在的平面所成的一个二面角为 $60^{\circ}$，则球 $O$ 的表面积等于______.

\begin{answer} $16\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 设球 $O$ 的半径为 $R$，两圆公共弦的中点为 $H$. 公共弦长为 $R$， 所以半弦长为 $\frac{R}{2}$. 因为圆 $O$ 是大圆，其半径为 $R$，在大圆所在平面内有 圆 $K$ 所在平面到球心的距离为 $OK=\frac{3}{2}$，故圆 $K$ 的半径满足 $r_K^2=R^2-\frac{9}{4}$. 在圆 $K$ 所在平面内，半弦长为 $\frac{R}{2}$，圆半径为 $r_K$，圆心到弦的距离为 $KH$，因此 从而 $KH=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{R^2-3}$. 两平面所成的锐二面角为 $60^{\circ}$， 在垂直于公共弦的截面内可取 $\angle OHK=60^{\circ}$. 由于公共弦在圆 $K$ 内确实存在， $KH>0$，所以 $R^2>3$. 在三角形 $OHK$ 中由余弦定理， 化简得 $R\sqrt{R^2-3}=2(R^2-3)$. 由于 $R^2>3$，可约去 $\sqrt{R^2-3}$， 得到 $R=2\sqrt{R^2-3}$，从而 $R^2=4$. 因此球的表面积为 $4\pi R^2=16\pi$. \end{solution}