设函数 $f(x) = A \sin (\omega x + \varphi)$ （$A$，$\omega$，$\varphi$ 是常数，$A > 0$，$\omega > 0$）. 若 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上具有单调性，且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -f\left(\frac{\pi}{6}\right)$，则 $f(x)$ 的最小正周期为______.