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12解析几何★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，AC=5AC=5，BC=14BC=\sqrt{14}. 已知点 AA，BB，CC 分别为椭圆 44 个顶点和 22 个焦点中的三点，则该椭圆的离心率为______.

2026 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 Γ:x2a2+y25=1\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1（a>5a>\sqrt5），M(0,m)M(0,m)（m>0m>0），AA 为 Γ\Gamma 的右顶点.
(1) 若 Γ\Gamma 的焦点为 (2,0)(2,0)，求离心率 ee； (2) 若 a=4a=4，且 Γ\Gamma 上存在一点 PP 满足 PA→=2MP→\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}，求 mm； (3) 若线段 AMAM 的中垂线 ll 的斜率为2， ll 与 Γ\Gamma 交于 CC，DD，且 ∠CMD\angle CMD 为钝角，求 aa 的取值范围.

2025 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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16解析几何★★★★☆
对于曲线 CC，若存在点 MM，使得对任意的点 P∈CP\in C，都存在 Q∈CQ\in C，且 ∣PM∣⋅∣QM∣=1\left|PM\right|\cdot\left|QM\right|=1，则称曲线 CC 为“自相关曲线”. 有以下结论：
① 任何椭圆都是“自相关曲线”； ② 存在双曲线是“自相关曲线”. 关于上述两个结论，说法正确的是（ ）.
A.
① 成立，② 成立
B.
① 成立，② 不成立
C.
① 不成立，② 成立
D.
① 不成立，② 不成立

2023 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 Γ:y2=4x\Gamma:y^2=4x，第一象限内点 AA 在 Γ\Gamma 上，AA 的纵坐标是 aa.
(1) 若 AA 到准线的距离为 33，求 aa； (2) 若 a=4a=4，BB 在 xx 轴上，且线段 ABAB 的中点在 Γ\Gamma 上，求点 BB 的坐标及坐标原点 OO 到直线 ABAB 的距离； (3) 直线 l:x=−3l:x=-3，令 PP 是第一象限 Γ\Gamma 上异于 A 的一点，直线 APAP 交 ll 于 QQ，HH 是 PP 在 ll 上的投影，若点 A 满足“对于任意 PP 都有 ∣HQ∣>4\left|HQ\right|>4”，求 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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16解析几何★★★★☆
设 Ω={(x,y)∣(x−k)2+(y−k2)2=4∣k∣, k∈Z}\Omega=\{(x,y)\mid (x-k)^2+(y-k^2)^2=4|k|,\ k\in\mathbf{Z}\}，有结论：
① 存在直线 ll，使得 Ω\Omega 中不存在点在 ll 上，但存在点在 ll 两侧； ② 存在直线 ll，使得 Ω\Omega 中存在无数个点在 ll 上.
关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
A.
\circled1\circled{1}成立，\circled2\circled{2}成立
B.
\circled1\circled{1}成立，\circled2\circled{2}不成立
C.
\circled1\circled{1}不成立，\circled2\circled{2}成立
D.
\circled1\circled{1}不成立，\circled2\circled{2}不成立

2022 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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19解析几何★★★★☆
如图，AD=BC=6AD=BC=6，AB=20AB=20，∠DAB=∠ABC=120∘\angle DAB=\angle ABC=120^\circ，OO 为 ABAB 中点，曲线 CDCD 上任意一点到点 OO 的距离均相等，PP，MM，QQ 为曲线 CDCD 上的点，且 MO⊥ABMO\perp AB，点 PP 与点 QQ 关于直线 OMOM 对称.
(1) 若点 PP 与点 CC 重合，求 ∠POB\angle POB 的大小； (2) 点 PP 在何位置时，五边形 CPMQDCPMQD 的面积 SS 取到最大值，并求出该最大值.

2022 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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10解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x24+y23=1C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 的右焦点为 FF，直线 ll 经过椭圆右焦点 FF，交椭圆 CC 于 PP，QQ 两点（点 PP 在第二象限），若点 QQ 关于 xx 轴对称点为 Q′Q'，且满足 PQ⊥FQ′PQ\perp FQ'，求直线 ll 的方程是______.

2020 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an<an+1a_n<a_{n+1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），若点 Pn(n,an)P_n(n,a_n) 在双曲线 x26−y22=1\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1 上，则 lim⁡n→∞∣PnPn+1∣=\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=______.

2019 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 x28+y24=1\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1，F1F_1，F2F_2 分别为左，右焦点，直线 ll 过 F2F_2 交椭圆于 AA，BB 两点.
(1) 若 ABAB 垂直于 xx 轴时，求 ∣AB∣|AB|； (2) 当 ∠F1AB=90∘\angle F_1AB=90^\circ 时，AA 在 xx 轴上方时，求 AA，BB 的坐标； (3) 若直线 AF1AF_1 交 yy 轴于 MM，直线 BF1BF_1 交 yy 轴于 NN，是否存在直线 ll，使 S△F1AB=S△F1MNS_{\triangle F_1AB}=S_{\triangle F_1MN}，若存在，求出直线 ll 的方程；若不存在，请说明理由.

2019 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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12解析几何★★★★☆
如图，用 3535 个单位正方形拼成一个矩形，点 P1P_1，P2P_2，P3P_3，P4P_4 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合 Ω={P1,P2,P3,P4}\Omega=\{P_1,P_2,P_3,P_4\}，点 P∈ΩP\in\Omega，过 PP 作直线 lPl_P，使得不在 lPl_P 上的“▲”的点分布在 lPl_P 的两侧. 用 D1(lP)D_1(l_P) 和 D2(lP)D_2(l_P) 分别表示 lPl_P 一侧和另一侧的“▲”的点到 lPl_P 的距离之和. 若过 PP 的直线 lPl_P 中有且只有一条满足 D1(lP)=D2(lP)D_1(l_P)=D_2(l_P)，则 Ω\Omega 中所有这样的 PP 为______.

2017 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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21解析几何★★★★☆
双曲线 x2−y2b2=1x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，直线 ll 过 F2F_2 且与双曲线交于 AA，BB 两点.
(1) 若 ll 的倾斜角为 π2\dfrac{\pi}{2}，△F1AB\triangle F_1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2) 设 b=3b=\sqrt3，若 ll 的斜率存在，且 (F1A→+F1B→)⋅AB→=0(\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B})\cdot\overrightarrow{AB}=0，求 ll 的斜率.

2016 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
双曲线 x2−y2b2=1x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，直线 ll 过 F2F_2 且与双曲线交于 AA，BB 两点.
(1) 若 ll 的倾斜角为 π2\dfrac{\pi}{2}，△F1AB\triangle F_1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (2) 设 b=3b=\sqrt3，若 ll 的斜率存在，且 ∣AB∣=4|AB|=4，求 ll 的斜率.

2016 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2+2y2=1x^{2} + 2y^{2} = 1，过原点的两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 分别与椭圆交于点 AA，BB 和 CC，DD. 记得到的平行四边形 ACBDACBD 的面积为 SS.
(1) 设 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，C(x2,y2)C(x_{2}, y_{2}). 用 AA，CC 的坐标表示点 CC 到直线 l1l_{1} 的距离，并证明 S=2∣x1y2−x2y1∣S = 2|x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|. (2) 设 l1l_{1} 与 l2l_{2} 的斜率之积为 −12-\frac{1}{2}，求面积 SS 的值.

2015 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2015 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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22解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2+2y2=1x^{2} + 2y^{2} = 1，过原点的两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 分别与椭圆交于点 AA，BB 和 CC，DD. 记 △AOC\triangle AOC 的面积为 SS.
(1) 设 A(x1,y1)A(x_{1}, y_{1})，C(x2,y2)C(x_{2}, y_{2}). 用 AA，CC 的坐标表示点 CC 到直线 l1l_{1} 的距离，并证明 S=12∣x1y2−x2y1∣S = \frac{1}{2} |x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}|； (2) 设 l1:y=kxl_{1}: y = kx，C(33,33)C\left(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)，S=13S = \frac{1}{3}. 求 kk 的值. (3) 设 l1l_{1} 与 l2l_{2} 的斜率之积为 mm，求 mm 的值，使得无论 l1l_{1} 与 l2l_{2} 如何变动，面积 SS 保持不变.

2015 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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14解析几何★★★★☆
已知曲线 C:x=−4−y2C: x = -\sqrt{4 - y^2}，直线 l:x=6l: x = 6. 若对于点 A(m,0)A(m,0)，存在 CC 上的点 PP 和 ll 上的 QQ 使得 AP→+AQ→=0→\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{0}，则 mm 的取值范围为______.
\begin{answer} [2,3][2,3] \end{answer}
\begin{solution} 设 P=(x,y)P=(x,y)，则由曲线方程知 −2⩽x⩽0-2\leqslant x\leqslant0，且 QQ 在直线 x=6x=6 上. 向量等式等价于 P+Q=2A=(2m,0)P+Q=2A=(2m,0)，所以 Q=(6,−y)Q=(6,-y)，并且 2m=x+62m=x+6. 因此 m=x+62m=\dfrac{x+6}{2}，随 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 取遍 [2,3][2,3]. 反过来，左半圆上每个 x∈[−2,0]x\in[-2,0] 都有相应的 yy，故区间内每个 mm 都能实现，所求范围为 [2,3][2,3]. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，对于直线 l:ax+by+c=0l: ax + by + c = 0 和点 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1}, y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2}, y_{2})，记 η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)\eta = (ax_{1} + by_{1} + c)(ax_{2} + by_{2} + c). 若 η<0\eta < 0，则称点 P1P_{1}，P2P_{2} 被直线 ll 分隔. 若曲线 CC 与直线 ll 没有公共点，且曲线 CC 上存在点 P1P_{1}，P2P_{2} 被直线 ll 分隔，则称直线 ll 为曲线 CC 的一条分隔线.
(1) 求证：点 A(1,2)A(1,2)，B(−1,0)B(-1,0) 被直线 x+y−1=0x + y - 1 = 0 分隔； (2) 若直线 y=kxy = kx 是曲线 x2−4y2=1x^2 - 4y^2 = 1 的分隔线，求实数 kk 的取值范围； (3) 动点 MM 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离与到 yy 轴的距离之积为 11，设点 MM 的轨迹为 EE. 求 EE 的方程，并证明 yy 轴为曲线 EE 的分隔线.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对直线 x+y−1=0x+y-1=0，分别计算得 1+2−1=21+2-1=2、−1+0−1=−2-1+0-1=-2，两者乘积为 −4<0-4<0，所以点 AA、BB 被该直线分隔. \item 将直线 y=kxy=kx 代入曲线方程，得 (1−4k2)x2=1(1-4k^2)x^2=1. 直线与曲线没有公共点的充要条件是 1−4k2⩽01-4k^2\leqslant0，即 ∣k∣⩾12|k|\geqslant\dfrac12. 当 ∣k∣⩾12|k|\geqslant\dfrac12 时，曲线上两点 (1,0)(1,0)、(−1,0)(-1,0) 对直线 y−kx=0y-kx=0 的代数式值分别为 −k-k、kk，其乘积为 −k2<0-k^2<0，所以确实存在被直线分隔的两点. 因此 k∈(−∞,−12]∪[12,+∞)k\in\left(-\infty,-\dfrac12\right]\cup\left[\dfrac12,+\infty\right). \item 设 M=(x,y)M=(x,y). 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离为 x2+(y−2)2\sqrt{x^2+(y-2)^2}，到 yy 轴的距离为 ∣x∣|x|. 由题意得 ∣x∣x2+(y−2)2=1|x|\sqrt{x^2+(y-2)^2}=1. 两边均非负，平方后得到轨迹方程 (x2+(y−2)2)x2=1\bigl(x^2+(y-2)^2\bigr)x^2=1. yy 轴的方程为 x=0x=0，代入上述方程得 0=10=1，所以 yy 轴与曲线 EE 没有公共点. 又 (1,2)(1,2)、(−1,2)(-1,2) 均满足曲线方程，而它们代入直线 x=0x=0 的代数式所得值为 11、−1-1，乘积小于零，因此这两点被 yy 轴分隔，故 yy 轴是曲线 EE 的分隔线. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，已知双曲线 C1:x22−y2=1C_1:\frac{x^2}{2}-y^2=1，曲线 C2:∣y∣=∣x∣+1C_2:|y|=|x|+1. PP 是平面内一点，若存在过点 PP 的直线与 C1C_1，C2C_2 都有公共点，则称 PP 为 “C1−C2C_1-C_2 型点”.
(1) 在正确证明 C1C_1 的左焦点是“C1−C2C_1-C_2 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； (2) 设直线 y=kxy=kx 与 C2C_2 有公共点. 求证 ∣k∣>1|k|>1，进而证明原点不是“C1−C2C_1-C_2 型点”； (3) 求证：圆 x2+y2=12x^2+y^2=\frac{1}{2} 内的点都不是 “C1−C2C_1-C_2 型点”.

2013 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
记椭圆 x24+ny24n+1=1\frac{x^2}{4} + \frac{ny^2}{4n + 1} = 1 围成的区域（含边界）为 Ωn\Omega_n （n=1n = 1，22，⋯\cdots），当点 (x,y)\left(x, y\right) 分别在 Ω1\Omega_1，Ω2\Omega_2，⋯\cdots 上时，x+yx + y 的最大值分别是 M1M_1，M2M_2，⋯\cdots，则 lim⁡n→∞Mn=\displaystyle\lim_{n \to \infty} M_n =（\quad）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 区域 Ωn\Omega_n 满足
x24+ny24n+1⩽1\frac{x^2}{4}+\frac{ny^2}{4n+1}\leqslant1
令 u=x2u=\frac{x}{2}，v=n4n+1yv=\sqrt{\frac{n}{4n+1}}y，则 u2+v2⩽1u^2+v^2\leqslant1，且
x+y=2u+4n+1nvx+y=2u+\sqrt{\frac{4n+1}{n}}v
由柯西不等式，
x+y⩽4+4n+1nu2+v2⩽8+1nx+y\leqslant\sqrt{4+\frac{4n+1}{n}}\sqrt{u^2+v^2} \leqslant\sqrt{8+\frac1n}
取 (u,v)(u,v) 与 (2,4n+1n)\left(2,\sqrt{\frac{4n+1}{n}}\right) 同方向且在单位圆上时可取到等号，因此
Mn=8+1nM_n=\sqrt{8+\frac1n}
所以
lim⁡n→∞Mn=8=22\lim_{n\to\infty}M_n=\sqrt8=2\sqrt2
因此选 D. \end{solution}
A.
00
B.
14\frac{1}{4}
C.
22
D.
222\sqrt{2}

2013 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知双曲线 C1:2x2−y2=1C_1: 2x^2 - y^2 = 1.
(1) 过 C1C_{1} 的左顶点引 C1C_{1} 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 xx 轴围成的三角形的面积； (2) 设斜率为 1 的直线 ll 交 C1C_{1} 于 PP，QQ 两点. 若 ll 与圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 相切. 求证： OP⊥OQOP \perp OQ； (3) 设椭圆 C2:4x2+y2=1C_{2}: 4x^{2} + y^{2} = 1. 若 MM，NN 分别是 C1C_{1}，C2C_{2} 上的动点，且 OM⊥ONOM \perp ON，求证：OO 到直线 MNMN 的距离是定值.

2012 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知双曲线 C:2x2−y2=1C: 2x^{2} - y^{2} = 1.
(1) 设 FF 是 CC 的左焦点，点 MM 是 CC 右支上一点. 若 ∣MF∣=22|MF| = 2\sqrt{2}，求点 MM 的坐标； (2) 过 CC 的左顶点作 CC 的两条渐近线的平行线. 求这两组平行线围成的平行四边形的面积； (3) 设斜率为 kk （∣k∣<2|k| < \sqrt{2}） 的直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点. 若 ll 与圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 相切，求证：OP⊥OQOP \perp OQ.

2012 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
已知平面上的线段 ll 及点 PP，在 ll 上任取一点 QQ，线段 PQPQ 长度的最小值称为点 PP 到线段 ll 的距离，记作 d(P,l)d(P, l).
(1) 求点 P(1,1)P(1,1) 到线段 l:x−y−3=0l: x - y - 3 = 0（3⩽x⩽53 \leqslant x \leqslant 5）的距离 d(P,l)d(P, l)； (2) 设 ll 是长为 2 的线段，求点的集合 D={P∣d(P,l)⩽1}D = \{P \mid d(P, l) \leqslant 1\} 所表示的图形面积； (3) 写出到两条线段 l1l_1，l2l_2 距离相等的点的集合 Ω={P∣d(P,l1)=d(P,l2)}\Omega = \{P \mid d(P, l_1) = d(P, l_2)\}，其中 l1=ABl_1 = AB，l2=CDl_2 = CD，AA，BB，CC，DD 是下列三组点中的一组.
① A(1,3)A(1,3)，B(1,0)B(1,0)，C(−1,3)C(-1,3)，D(−1,0)D(-1,0). ② A(1,3)A(1,3)，B(1,0)B(1,0)，C(−1,3)C(-1,3)，D(−1,−2)D(-1,-2). ③ A(0,1)A(0,1)，B(0,0)B(0,0)，C(0,0)C(0,0)，D(2,0)D(2,0).

2011 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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10解析几何★★★★☆
在极坐标系中，由三条直线 θ=0\theta = 0，θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}，ρcos⁡θ+ρsin⁡θ=1\rho \cos \theta + \rho \sin \theta = 1 围成图形的面积是______.

2009 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
过圆 C:(x−1)2+(y−1)2=1C: (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 的圆心作直线分别交 xx，yy 正半轴于点 AA，BB，△AOB\triangle AOB 被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 SI+SIV=SII+SIIIS_{\mathrm I} + S_{\mathrm{IV}} = S_{\mathrm{II}} + S_{\mathrm{III}}，则直线 ABAB 有（ ）
A.
00 条
B.
11 条
C.
22 条
D.
33 条

2009 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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