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116分解析几何★★★★☆
已知抛物线 E:y2=8xE:y^2=8x，斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 经过点 (−1,0)\left( -1,0 \right)，等边三角形 ABCABC 的顶点 AA 在 EE 上，顶点 BB，CC 均在 ll 上. 下列结论正确的有（ ）
A.
EE 的准线方程为 x=−2x=-2
B.
若 ll 与 EE 没有公共点，则 k>2k>\sqrt{2}
C.
若 ll 与 EE 的唯一公共点为 BB，则 EE 的焦点在直线 ABAB 上
D.
若 k=2k=2，则 △ABC\triangle ABC 面积的最小值为 315\frac{\sqrt{3}}{15}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别是 F1F_1，F2F_2，左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2. 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 MM，NN 两点，且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M=\frac{5\pi}{6}，则（ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2=\frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1|=2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a=\sqrt2 时，四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt3

2025 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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1615分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\frac{\sqrt2}{2}，长轴长为 4.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (0,−2)(0,-2) 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt2，求 ∣AB∣|AB|.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left( 1,\dfrac{3}{2} \right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho=\rho\cos\theta+1.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程； (2) 设直线 ll 的参数方程为
{x=t,y=t+a,\begin{cases} x=t,\\ y=t+a, \end{cases}
（tt 为参数），若 CC 与 ll 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=2|AB|=2，求 aa 的值.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left(1,\dfrac32\right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线交 CC 于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=415\lvert AB \rvert=4\sqrt{15}.
(1) 求 pp； (2) 设 FF 为 CC 的焦点，MM，NN 为 CC 上两点，FM→⋅FN→=0\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0，求 △MFN\triangle MFN 面积的最小值.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0） 交于 AA，BB 两点，∣AB∣=415|AB|=4\sqrt{15}.
(1) 求 pp； (2) 设 FF 为 CC 的焦点，MM，NN 为 CC 上两点，且 FM→⋅FN→=0\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0，求 △MFN\triangle MFN 面积的最小值.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的顶点为坐标原点 OO，焦点在 xx 轴上，直线 l:x=1l:x=1 交 CC 于 PP，QQ 两点，且 OP⊥OQOP\perp OQ. 已知点 M(2,0)M(2,0)，且 ⊙M\odot M 与 ll 相切.
(1) 求 CC，⊙M\odot M 的方程； (2) 设 A1A_1，A2A_2，A3A_3 是 CC 上的三个点，直线 A1A2A_1A_2，A1A3A_1A_3 均与 ⊙M\odot M 相切. 判断直线 A2A3A_2A_3 与 ⊙M\odot M 的位置关系，并说明理由.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x225+y2m2=1C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1（0<m<50<m<5）的离心率为 154\dfrac{\sqrt{15}}{4}，AA，BB 分别为 CC 的左，右顶点.
(1) 求 CC 的方程； (2) 若点 PP 在 CC 上，点 QQ 在直线 x=6x=6 上，且 ∣BP∣=∣BQ∣|BP|=|BQ|，BP⊥BQBP\perp BQ，求 △APQ\triangle APQ 的面积.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x225+y2m2=1C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1（0<m<50<m<5）的离心率为 154\dfrac{\sqrt{15}}{4}，AA，BB 分别为 CC 的左，右顶点.
(1) 求 CC 的方程； (2) 若点 PP 在 CC 上，点 QQ 在直线 x=6x=6 上，且 ∣BP∣=∣BQ∣|BP|=|BQ|，BP⊥BQBP\perp BQ，求 △APQ\triangle APQ 的面积.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E(0,\dfrac52) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求四边形 ADBEADBE 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E\left(0,\dfrac52\right) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求该圆的方程.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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16解析几何★★★★☆
已知点 M(−1,1)M(-1,1) 和抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x，过 CC 的焦点且斜率为 kk 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∠AMB=90∘\angle AMB=90^\circ，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
已知斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 C:x24+y23=1C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 的中点为 M(1,m)M(1,m)（m>0m>0）.
(1) 证明：k<−12k<-\dfrac12； (2) 设 FF 为 CC 的右焦点，PP 为 CC 上一点，且 FP→+FA→+FB→=0→\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{0}. 证明：∣FA→∣\left|\overrightarrow{FA}\right|，∣FP→∣\left|\overrightarrow{FP}\right|，∣FB→∣\left|\overrightarrow{FB}\right| 成等差数列，并求该数列的公差.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 C:x24+y23=1C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 的中点为 M(1,m)M(1,m)（m>0m>0）.
(1) 证明：k<−12k<-\dfrac12； (2) 设 FF 为 CC 的右焦点，PP 为 CC 上一点，且 FP→+FA→+FB→=0→\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{0}. 证明：2∣FP→∣=∣FA→∣+∣FB→∣2\left|\overrightarrow{FP}\right|=\left|\overrightarrow{FA}\right|+\left|\overrightarrow{FB}\right|.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 的首项为 11，SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，Sn+1=qSn+1S_{n+1}=qS_n+1，其中 q>0q>0，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.
(1) 若 2a22a_2，a3a_3，a2+2a_2+2 成等差数列，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设双曲线 x2−y2an2=1x^2-\dfrac{y^2}{a_n^2}=1 的离心率为 ene_n，且 e2=53e_2=\dfrac53，证明：e1+e2+⋯+en>4n−3n3n−1e_1+e_2+\cdots+e_n>\dfrac{4^n-3^n}{3^{n-1}}.

2016 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 33 个顶点，直线 l:y=−x+3l:y=-x+3 与椭圆 EE 有且只有一个公共点 TT.
(1) 求椭圆 EE 的方程及点 TT 的坐标； (2) 设 OO 是坐标原点，直线 l′l' 平行于 OTOT，与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，且与直线 ll 交于点 PP. 证明：存在常数 λ\lambda，使得 ∣PT∣2=λ∣PA∣⋅∣PB∣\left|PT\right|^2=\lambda\left|PA\right|\cdot\left|PB\right|，并求 λ\lambda 的值.

2016 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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15函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，当 P(x,y)P(x,y) 不是原点时，定义 PP 的“伴随点”为 P′ ⁣(yx2+y2,−xx2+y2)P'\!\left( \dfrac{y}{x^2+y^2},-\dfrac{x}{x^2+y^2} \right)；当 PP 是原点时，定义 PP 的“伴随点”为它自身. 平面曲线 CC 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 C′C' 定义为曲线 CC 的“伴随曲线”，现有下列命题：
① 若点 AA 的“伴随点”是点 A′A'，则点 A′A' 的“伴随点”是点 AA； ② 单位圆上的“伴随点”仍在单位圆上； ③ 若两点关于 xx 轴对称，则他们的“伴随点”关于 yy 轴对称； ④ 若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是______. （写出所有真命题的序列）

2016 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P ⁣(3,12)P\!\left(\sqrt3,\dfrac12\right) 在椭圆 EE 上.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设不过原点 OO 且斜率为 12\dfrac12 的直线 ll 与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，线段 ABAB 的中点为 MM，直线 OMOM 与椭圆 EE 交于 CC，DD，证明：∣MA∣⋅∣MB∣=∣MC∣⋅∣MD∣|MA|\cdot|MB|=|MC|\cdot|MD|.

2016 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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10解析几何★★★★☆
设直线 ll 与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 相交于 AA，BB 两点，与圆 (x−5)2+y2=r2(x - 5)^{2} + y^{2} = r^{2}（r>0r > 0）相切于点 MM，且 MM 为线段 ABAB 的中点. 若这样的直线 ll 恰有 4 条，则 rr 的取值范围是（ ）
\begin{solution} 设抛物线上两交点对应的参数为 uu，vv，即 A=(u2,2u)A=(u^2,2u)，B=(v2,2v)B=(v^2,2v)，并记 s=u+vs=u+v，p=uvp=uv. 则弦 ABAB 的方向向量可取 (s,2)(s,2)，其中点为 M=(s2−2p2,s)M=\left(\dfrac{s^2-2p}{2},s\right).
若 s≠0s\ne0，由直线 ABAB 与半径 M−(5,0)M-(5,0) 垂直，得
(s2−2p2−5,s)⋅(s,2)=0\left(\frac{s^2-2p}{2}-5,s\right)\cdot(s,2)=0
从而 p=s22−3p=\dfrac{s^2}{2}-3. 于是 M=(3,s)M=(3,s)，而两交点不同的条件为 s2−4p=12−s2>0s^2-4p=12-s^2>0，即 ∣s∣<23\lvert s\rvert<2\sqrt3. 此时 r=∣M−(5,0)∣=4+s2r=\lvert M-(5,0)\rvert=\sqrt{4+s^2}，所以当 2<r<42<r<4 时有两个不同的 ss，从而有两条非竖直直线.
当 s=0s=0 时，弦为竖直直线 x=cx=c，且 c>0c>0 才能与抛物线交于两个不同点. 它与圆相切的条件为 ∣c−5∣=r\lvert c-5\rvert=r. 在 0<r<50<r<5 时得到两条竖直切线 x=5−rx=5-r 和 x=5+rx=5+r. 因而恰有四条直线的条件为 2<r<42<r<4，故选 D. \end{solution}
A.
(1,3)(1,3)
B.
(1,4)(1,4)
C.
(2,3)(2,3)
D.
(2,4)(2,4)

2015 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率是 22\frac{\sqrt{2}}{2}，过点 P(0,1)P(0,1) 的动直线 ll 与椭圆相交于 AA，BB 两点. 当直线 ll 平行于 xx 轴时，直线 ll 被椭圆 EE 截得的线段长为 222\sqrt{2}.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，是否存在与点 PP 不同的定点 QQ，使得 ∣QA∣∣QB∣=∣PA∣∣PB∣\frac{|QA|}{|QB|} = \frac{|PA|}{|PB|} 恒成立？ 若存在，求出点 QQ 的坐标；若不存在，请说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由离心率条件， ca=22\frac ca=\frac{\sqrt2}{2}，c2=a2−b2c^2=a^2-b^2 得 b2=a22b^2=\dfrac{a^2}{2}. 当 l∥xl\parallel x 轴时，ll 的方程为 y=1y=1，设其与椭圆的两个交点横坐标为 ±2\pm\sqrt2，则
2a2+1b2=1\frac2{a^2}+\frac1{b^2}=1
代入 b2=a22b^2=\dfrac{a^2}{2}，得 a2=4a^2=4，b2=2b^2=2. 所以椭圆方程为 x24+y22=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1. \item 先确定定点的位置. 取水平直线 y=1y=1，其两个交点关于 yy 轴对称，且 PA=PBPA=PB，所以满足条件的 QQ 必在 yy 轴上，设 Q=(0,q)Q=(0,q). 再取竖直直线 x=0x=0，其交点为 (0,2)(0,\sqrt2)，(0,−2)(0,-\sqrt2)，于是
∣q−2∣∣q+2∣=2−12+1\frac{\lvert q-\sqrt2\rvert}{\lvert q+\sqrt2\rvert} =\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}
解得 q=1q=1 或 q=2q=2. 由于 Q≠PQ\ne P，只能取 Q=(0,2)Q=(0,2).
下面验证该点对任意过 PP 的非竖直直线都成立. 设直线斜率为 kk，用参数 tt 表示其上的点 R(t)=(t,1+kt)R(t)=(t,1+kt). 与椭圆的交点参数 t1t_1，t2t_2 满足
t24+(1+kt)22=1\frac{t^2}{4}+\frac{(1+kt)^2}{2}=1
即 (1+2k2)t2+4kt−2=0(1+2k^2)t^2+4kt-2=0. 因此 t1t2=−21+2k2t_1t_2=-\frac2{1+2k^2}，1t1+1t2=t1+t2t1t2=2k\frac1{t_1}+\frac1{t_2}=\frac{t_1+t_2}{t_1t_2}=2k. 对 ui=1tiu_i=\dfrac1{t_i}，令 F(u)=u2−2ku+1+k2F(u)=u^2-2ku+1+k^2，则
F(u1)−F(u2)=(u1−u2)(u1+u2−2k)=0F(u_1)-F(u_2)=(u_1-u_2)(u_1+u_2-2k)=0
又 Q=(0,2)Q=(0,2)，所以
QR(ti)2ti2=ti2+(kti−1)2ti2=F(1ti)\frac{QR(t_i)^2}{t_i^2} =\frac{t_i^2+(kt_i-1)^2}{t_i^2} =F\left(\frac1{t_i}\right)
从而 QA∣t1∣=QB∣t2∣\dfrac{QA}{\lvert t_1\rvert}=\dfrac{QB}{\lvert t_2\rvert}. 另一方面，PA=∣t1∣1+k2PA=\lvert t_1\rvert\sqrt{1+k^2}，PB=∣t2∣1+k2PB=\lvert t_2\rvert\sqrt{1+k^2}，故
QAQB=∣t1∣∣t2∣=PAPB\frac{QA}{QB}=\frac{\lvert t_1\rvert}{\lvert t_2\rvert}=\frac{PA}{PB}
竖直直线的情形已用于确定 QQ，并且上式中的比例直接验证为 2−22+2=2−12+1\dfrac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}. 所以该定点确为 Q=(0,2)Q=(0,2). \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率是 22\frac{\sqrt{2}}{2}，点 P(0,1)P(0,1) 在短轴 CDCD 上，且 PC‾⋅PD‾=−1\overline{PC} \cdot \overline{PD} = -1.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过点 PP 的动直线与椭圆交于 AA，BB 两点. 是否存在常数 λ\lambda，使得 OA→⋅OB→+λPA→⋅PB→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \lambda \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 为定值？若存在，求 λ\lambda 的值；若不存在，请说明理由.

2015 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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10解析几何★★★★☆
已知 FF 是抛物线 y2=xy^{2}=x 的焦点，点 AA，BB 在该抛物线上且位于 xx 轴的两侧，OA→⋅OB→=2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}=2（其中 OO 为坐标原点），则 △ABO\triangle ABO 与 △AFO\triangle AFO 面积之和的最小值是（ ）
A.
22
B.
33
C.
1728\frac{17\sqrt{2}}{8}
D.
10\sqrt{10}

2014 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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14解析几何★★★★☆
设 m∈Rm \in \mathbf{R}，过定点 AA 的动直线 x+my=0x + my = 0 和过定点 BB 的动直线 mx−y−m+3=0mx - y - m + 3 = 0 交于点 P(x,y)P(x, y)，则 ∣PA∣⋅∣PB∣|PA| \cdot |PB| 的最大值是______.

2014 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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