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116分解析几何★★★★☆
已知圆 C1:(x+1)2+y2=1C_1:(x+1)^2+y^2=1，圆 C2:(x−1)2+y2=1C_2:(x-1)^2+y^2=1，圆 C3:x2+(y−3)2=1C_3:x^2+\left( y-\sqrt{3} \right)^2=1，直线 l:y=kx+bl:y=kx+b 与 C1C_1，C2C_2，C3C_3 均有两个交点，记 ll 被 C1C_1，C2C_2，C3C_3 截得弦长分别为 s1s_1，s2s_2，s3s_3，则（ ）
A.
kk 可以取任意实数
B.
满足 s1=s2=s3s_1=s_2=s_3 的直线 ll 共有 33 条
C.
满足 s1+s2+s3=3s_1+s_2+s_3=3 的直线 ll 多于 33 条
D.
当 b=0b=0 时，s1+s2+s3s_1+s_2+s_3 的最大值为 2213\dfrac{2\sqrt{21}}{3}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 11 题 · 多选题

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106分解析几何★★★★☆
设抛物线 C:y2=6xC: y^2 = 6x 的焦点为 FF，过 FF 的一条直线交 CC 于 AA，BB 两点，过 AA 作直线 l:x=−32l: x = -\frac{3}{2} 的垂线，垂足为 DD，过 FF 且与直线 ABAB 垂直的直线交 ll 于 EE，则（ ）
A.
∣AD∣=∣AF∣|AD| = |AF|
B.
∣AE∣=∣AB∣|AE| = |AB|
C.
∣AB∣≥6|AB| \ge 6
D.
∣AE∣⋅∣BE∣≥18|AE| \cdot |BE| \ge 18

2025 · 全国 · 一卷 · 第 10 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
造型可做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO，且 CC 上点满足横坐标大于 −2-2，到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a（a<0a<0） 的距离之积为 44，则（ ）
A.
a=−2a=-2
B.
点 (22,0)(2\sqrt2,0) 在 CC 上
C.
在第一象限 CC 的点的纵坐标最大值为 11
D.
若点 (x0,y0)(x_0,y_0) 在 CC 上，则 y0≤4x0+2y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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1615分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3)，P(3,32)P\left(3,\frac32\right) 都在椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 上.
(1) 求 CC 的离心率； (2) 过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，且 △ABP\triangle ABP 的面积为 99，求 ll 的方程.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 解答题

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165分解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 AA 在 CC 上，点 BB 在 yy 轴上，F1A⊥F1BF_1A\perp F_1B，F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A}=-\frac23\overrightarrow{F_2B}，则 CC 的离心率为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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116分解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，点 A(1,1)A(1,1) 在抛物线 C: x2=2pyC:\ x^2=2py（p>0p>0） 上，过点 B(0,−1)B(0,-1) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，则（ ）
A.
CC 的准线为 y=−1y=-1
B.
直线 ABAB 与 CC 相切
C.
∣OP∣⋅∣OQ∣>∣OA∣2|OP|\cdot |OQ|>|OA|^2
D.
∣BP∣⋅∣BQ∣>∣BA∣2|BP|\cdot |BQ|>|BA|^2

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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165分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1C:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），CC 的上顶点为 AA，两个焦点为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\frac12. 过 F1F_1 且垂直于 AF2AF_2 的直线与 CC 交于 DD，EE 两点，∣DE∣=6|DE|=6，则 △ADE\triangle ADE 的周长是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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2115分解析几何★★★★☆
已知点 A(2,1)A(2,1) 在双曲线 C: x2a2−y2a2−1=1C:\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2-1}=1（a>1a>1） 上，直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 的斜率之和为 00.
(1) 求 ll 的斜率； (2) 若 tan⁡∠PAQ=22\tan \angle PAQ=2\sqrt2，求 △PAQ\triangle PAQ 的面积.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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116分解析几何★★★★☆
已知点 PP 在圆 (x−5)2+(y−5)2=16\left( x-5 \right)^2+\left( y-5 \right)^2=16 上，点 A(4,0)A(4,0)，B(0,2)B(0,2)，则（ ）
A.
点 PP 到直线 ABAB 的距离小于 1010
B.
点 PP 到直线 ABAB 的距离大于 22
C.
当 ∠PBA\angle PBA 最小时，∣PB∣=32|PB|=3\sqrt{2}
D.
当 ∠PBA\angle PBA 最大时，∣PB∣=32|PB|=3\sqrt{2}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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2115分解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F1(−17,0)F_1(-\sqrt{17},0)，F2(17,0)F_2(\sqrt{17},0)，满足 ∣MF1∣−∣MF2∣=2|MF_1|-|MF_2|=2 的点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设点 TT 在直线 x=12x=\frac{1}{2} 上，过 TT 的两条直线分别交 CC 于 AA，BB 两点和 PP，QQ 两点，且 TA⋅TB=TP⋅TQTA\cdot TB=TP\cdot TQ，求直线 ABAB 的斜率与直线 PQPQ 的斜率之和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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155分三角函数★★★★☆
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. OO 为圆孔及轮廓圆弧 ABAB 所在圆的圆心，AA 是圆弧 ABAB 与直线 AGAG 的切点，BB 是圆弧 ABAB 与直线 BCBC 的切点，四边形 DEFGDEFG 为矩形，BC⊥DGBC\perp DG，垂足为 CC，tan⁡∠ODC=35\tan\angle ODC=\dfrac{3}{5}，BH∥DGBH\parallel DG，EF=12 cmEF=12 \mathrm{~cm}，DE=2 cmDE=2 \mathrm{~cm}，AA 到直线 DEDE 和 EFEF 的距离均为 7 cm7 \mathrm{~cm}，圆孔半径为 1 cm1 \mathrm{~cm}，则图中阴影部分的面积为______\ cm2\mathrm{cm}^2.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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12解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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21解析几何★★★★☆
已知点 AA，BB 关于坐标原点 OO 对称，∣AB∣=4|AB|=4，⊙M\odot M 过点 AA，BB 且与直线 x+2=0x+2=0 相切.
(1) 若 AA 在直线 x+y=0x+y=0 上，求 ⊙M\odot M 的半径； (2) 是否存在定点 PP，使得当 AA 运动时，∣MA∣−∣MP∣|MA|-|MP| 为定值？并说明理由.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=1−t21+t2x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}，y=4t1+t2y=\dfrac{4t}{1+t^2}（tt 为参数），以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho \cos \theta+\sqrt3\,\rho \sin \theta+11=0.
(1) 求 CC 和 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 距离的最小值.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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11解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x23−y2=1C:\frac{x^2}{3}-y^2=1，OO 为坐标原点，FF 为 CC 的右焦点，过 FF 的直线与 CC 的两条渐近线的交点分别为 MM，NN. 若 △OMN\triangle OMN 为直角三角形，则 ∣MN∣=\lvert MN\rvert=（ ）
A.
32\frac32
B.
33
C.
232\sqrt3
D.
44

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x22+y2=1C:\frac{x^2}{2}+y^2=1 的右焦点为 FF，过 FF 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0).
(1) 当 ll 与 xx 轴垂直时，求直线 AMAM 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB\angle OMA=\angle OMB.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k\lvert x\rvert+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 C1C_1 的方程为 y=k∣x∣+2y=k|x|+2. 以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcos⁡θ−3=0\rho^2+2\rho\cos\theta-3=0.
(1) 求 C2C_2 的直角坐标方程； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 有且仅有三个公共点，求 C1C_1 的方程.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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15解析几何★★★★☆
平面直角坐标系 xOyxOy 中，双曲线 C1:x2a2−y2b2=1C_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的渐近线与抛物线 C2:x2=2pyC_2: x^2 = 2py（p>0p > 0）交于 OO，AA，BB. 若 △OAB\triangle OAB 的垂心为 C2C_2 的焦点，则 C1C_1 的离心率为______.

2015 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}. 左、右焦点分别是 F1F_1，F2F_2. 以 F1F_1 为圆心、以 33 为半径的圆与以 F2F_2 为圆心、以 11 为半径的圆相交，且交点在椭圆 CC 上.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设椭圆 E:x24a2+y24b2=1E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1，PP 为椭圆 CC 上任意一点，过点 PP 的直线 y=kx+my = kx + m 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，射线 POPO 交椭圆 EE 于点 QQ.
(i) 求 ∣OQ∣∣OP∣\frac{|OQ|}{|OP|} 的值； (ii) 求 △ABQ\triangle ABQ 面积的最大值.

2015 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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15解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的焦距为 2c2c，右顶点为 AA，抛物线 x2=2pyx^2 = 2py（p>0p > 0）的焦点为 FF. 若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c2c，且 FA=cFA = c，则双曲线的渐近线方程为______.

2014 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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21解析几何★★★★☆
如图，椭圆 MM：x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 32\dfrac{\sqrt3}{2}，直线 x=±ax=\pm a 和 y=±by=\pm b 所围成的矩形 ABCDABCD 的面积为 8.
(1) 求椭圆 MM 的标准方程； (2) 设直线 l:y=x+ml:y=x+m（m∈Rm\in\mathbf{R}）与椭圆 MM 有两个不同的交点 PP，QQ，ll 与矩形 ABCDABCD 有两个不同的交点 SS，TT. 求 ∣PQ∣∣ST∣\dfrac{|PQ|}{|ST|} 的最大值及取得最大值时 mm 的值.

2012 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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15解析几何★★★★☆
与直线 x+y−2=0x + y - 2 = 0 和曲线 x2+y2−12x−12y+54=0x^{2} + y^{2} - 12x - 12y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是______.
\begin{answer}(x−2)2+(y−2)2=2\left(x - 2\right)^2 + \left(y - 2\right)^2 = 2\end{answer}
\begin{solution} 已知曲线化为
(x−6)2+(y−6)2=18(x-6)^2+(y-6)^2=18
所以其圆心为 O1(6,6)O_1(6,6)，半径为 R=32R=3\sqrt{2}. 圆心到直线 x+y−2=0x+y-2=0 的距离为
d(O1,l)=∣6+6−2∣2=52d(O_1,l)=\frac{|6+6-2|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}
设所求圆圆心为 PP，半径为 rr. 它与直线相切，所以 d(P,l)=rd(P,l)=r. 先考虑两圆外切，此时 PO1=R+rPO_1=R+r. 若 PP 与 O1O_1 位于直线两侧，则
PO1⩾d(O1,l)+d(P,l)=52+r>R+rPO_1\geqslant d(O_1,l)+d(P,l)=5\sqrt{2}+r>R+r
不可能外切；故二者在直线同侧，从而
PO1⩾d(O1,l)−d(P,l)=52−rPO_1\geqslant d(O_1,l)-d(P,l)=5\sqrt{2}-r
于是 R+r⩾52−rR+r\geqslant5\sqrt{2}-r，r⩾52−322=2r\geqslant\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}. 若所求圆内切于已知圆，则它完全位于已知圆内，而已知圆到直线的最小距离为 52−32=22>05\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}>0，不可能又与该直线相切；若已知圆内切于所求圆，则 r>R=32>2r>R=3\sqrt{2}>\sqrt{2}. 因此所有情形均有 r⩾2r\geqslant\sqrt{2}.
取圆心 P(2,2)P(2,2)，则 d(P,l)=2d(P,l)=\sqrt{2}，且
PO1=(6−2)2+(6−2)2=42=R+2PO_1=\sqrt{(6-2)^2+(6-2)^2}=4\sqrt{2}=R+\sqrt{2}
故该圆同时与直线和已知圆相切，并达到下界. 所求圆为
(x−2)2+(y−2)2=2(x-2)^2+(y-2)^2=2
\end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的中心在坐标原点，焦点在 xx 轴上，椭圆 CC 上的点到焦点距离的最大值为 33，最小值为 11.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 若直线 l:y=kx+ml: y = kx + m 与椭圆 CC 相交于 AA，BB 两点（AA，BB 不是左右顶点），且以 ABAB 为直径的圆过椭圆 CC 的右顶点，求证：直线 ll 过定点，并求出该定点的坐标.

2007 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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