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116分解析几何★★★★☆
已知圆 C1:(x+1)2+y2=1C_1:(x+1)^2+y^2=1，圆 C2:(x−1)2+y2=1C_2:(x-1)^2+y^2=1，圆 C3:x2+(y−3)2=1C_3:x^2+\left( y-\sqrt{3} \right)^2=1，直线 l:y=kx+bl:y=kx+b 与 C1C_1，C2C_2，C3C_3 均有两个交点，记 ll 被 C1C_1，C2C_2，C3C_3 截得弦长分别为 s1s_1，s2s_2，s3s_3，则（ ）
A.
kk 可以取任意实数
B.
满足 s1=s2=s3s_1=s_2=s_3 的直线 ll 共有 33 条
C.
满足 s1+s2+s3=3s_1+s_2+s_3=3 的直线 ll 多于 33 条
D.
当 b=0b=0 时，s1+s2+s3s_1+s_2+s_3 的最大值为 2213\dfrac{2\sqrt{21}}{3}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 11 题 · 多选题

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106分解析几何★★★★☆
设抛物线 C:y2=6xC: y^2 = 6x 的焦点为 FF，过 FF 的一条直线交 CC 于 AA，BB 两点，过 AA 作直线 l:x=−32l: x = -\frac{3}{2} 的垂线，垂足为 DD，过 FF 且与直线 ABAB 垂直的直线交 ll 于 EE，则（ ）
A.
∣AD∣=∣AF∣|AD| = |AF|
B.
∣AE∣=∣AB∣|AE| = |AB|
C.
∣AB∣≥6|AB| \ge 6
D.
∣AE∣⋅∣BE∣≥18|AE| \cdot |BE| \ge 18

2025 · 全国 · 一卷 · 第 10 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
造型可做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 CC 的一部分. 已知 CC 过坐标原点 OO，且 CC 上点满足横坐标大于 −2-2，到点 F(2,0)F(2,0) 的距离与到定直线 x=ax=a（a<0a<0） 的距离之积为 44，则（ ）
A.
a=−2a=-2
B.
点 (22,0)(2\sqrt2,0) 在 CC 上
C.
在第一象限 CC 的点的纵坐标最大值为 11
D.
若点 (x0,y0)(x_0,y_0) 在 CC 上，则 y0≤4x0+2y_0\le \dfrac{4}{x_0+2}

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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1615分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3)，P(3,32)P\left(3,\frac32\right) 都在椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 上.
(1) 求 CC 的离心率； (2) 过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，且 △ABP\triangle ABP 的面积为 99，求 ll 的方程.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 解答题

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165分解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 AA 在 CC 上，点 BB 在 yy 轴上，F1A⊥F1BF_1A\perp F_1B，F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A}=-\frac23\overrightarrow{F_2B}，则 CC 的离心率为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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116分解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，点 A(1,1)A(1,1) 在抛物线 C: x2=2pyC:\ x^2=2py（p>0p>0） 上，过点 B(0,−1)B(0,-1) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，则（ ）
A.
CC 的准线为 y=−1y=-1
B.
直线 ABAB 与 CC 相切
C.
∣OP∣⋅∣OQ∣>∣OA∣2|OP|\cdot |OQ|>|OA|^2
D.
∣BP∣⋅∣BQ∣>∣BA∣2|BP|\cdot |BQ|>|BA|^2

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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165分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1C:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），CC 的上顶点为 AA，两个焦点为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\frac12. 过 F1F_1 且垂直于 AF2AF_2 的直线与 CC 交于 DD，EE 两点，∣DE∣=6|DE|=6，则 △ADE\triangle ADE 的周长是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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2115分解析几何★★★★☆
已知点 A(2,1)A(2,1) 在双曲线 C: x2a2−y2a2−1=1C:\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2-1}=1（a>1a>1） 上，直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 的斜率之和为 00.
(1) 求 ll 的斜率； (2) 若 tan⁡∠PAQ=22\tan \angle PAQ=2\sqrt2，求 △PAQ\triangle PAQ 的面积.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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116分解析几何★★★★☆
已知点 PP 在圆 (x−5)2+(y−5)2=16\left( x-5 \right)^2+\left( y-5 \right)^2=16 上，点 A(4,0)A(4,0)，B(0,2)B(0,2)，则（ ）
A.
点 PP 到直线 ABAB 的距离小于 1010
B.
点 PP 到直线 ABAB 的距离大于 22
C.
当 ∠PBA\angle PBA 最小时，∣PB∣=32|PB|=3\sqrt{2}
D.
当 ∠PBA\angle PBA 最大时，∣PB∣=32|PB|=3\sqrt{2}

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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2115分解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F1(−17,0)F_1(-\sqrt{17},0)，F2(17,0)F_2(\sqrt{17},0)，满足 ∣MF1∣−∣MF2∣=2|MF_1|-|MF_2|=2 的点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设点 TT 在直线 x=12x=\frac{1}{2} 上，过 TT 的两条直线分别交 CC 于 AA，BB 两点和 PP，QQ 两点，且 TA⋅TB=TP⋅TQTA\cdot TB=TP\cdot TQ，求直线 ABAB 的斜率与直线 PQPQ 的斜率之和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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14解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知 P ⁣(32,0)P\!\left(\dfrac{\sqrt3}{2},0\right)，AA，BB 是圆 C:x2+(y−12)2=36C:x^2+\left(y-\dfrac12\right)^2=36 上的两个动点，满足 PA=PBPA=PB，则 △PAB\triangle PAB 面积的最大值是______.

2020 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 E:x24+y23=1E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，点 AA 在椭圆 EE 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2AF_2\perp F_1F_2，直线 AF1AF_1 与椭圆 EE 相交于另一点 BB.
(1) 求 △AF1F2\triangle AF_1F_2 的周长； (2) 在 xx 轴上任取一点 PP，直线 APAP 与椭圆 EE 的右准线相交于点 QQ，求 OP→⋅QP→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QP} 的最小值； (3) 设点 MM 在椭圆 EE 上，记 △OAB\triangle OAB 与 △MAB\triangle MAB 的面积分别为 S1S_1，S2S_2，若 S2=3S1S_2=3S_1，求点 MM 的坐标.

2020 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0). 过 F2F_2 作 xx 轴的垂线 ll，在 xx 轴的上方，ll 与圆 F2F_2：(x−1)2+y2=4a2(x-1)^2+y^2=4a^2 交于点 AA，与椭圆 CC 交于点 DD. 连结 AF1AF_1 并延长交圆 F2F_2 于点 BB，连结 BF2BF_2 交椭圆 CC 于点 EE，连结 DF1DF_1. 已知 DF1=52DF_1=\dfrac52.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 求点 EE 的坐标.

2019 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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12平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，AA 为直线 l:y=2xl:y=2x 上在第一象限内的点，B(5,0)B(5,0)，以 ABAB 为直径的圆 CC 与直线 ll 交于另一点 DD. 若 AB→⋅CD→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0，则点 AA 的横坐标为______.

2018 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 CC 过点 (3,12)\left(\sqrt3,\dfrac12\right)，焦点 F1(−3,0)F_1(-\sqrt3,0)，F2(3,0)F_2(\sqrt3,0)，圆 OO 的直径为 F1F2F_1F_2.
(1) 求椭圆 CC 及圆 OO 的方程； (2) 设直线 ll 与圆 OO 相切于第一象限内的点 PP.
(i) 若直线 ll 与椭圆 CC 有且只有一个公共点，求点 PP 的坐标； (ii) 直线 ll 与椭圆 CC 交于 AA，BB 两点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 267\dfrac{2\sqrt6}{7}，求直线 ll 的方程.

2018 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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13解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，A(−12,0)A(-12,0)，B(0,6)B(0,6)，点 PP 在圆 O:x2+y2=50O:x^2+y^2=50 上. 若 PA→⋅PB→≤20\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}\le 20，则点 PP 的横坐标的取值范围是______.

2017 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\dfrac12，两准线之间的距离为 88. 点 PP 在椭圆 EE 上，且位于第一象限，过点 F1F_1 作直线 PF1PF_1 的垂线 l1l_1，过点 F2F_2 作直线 PF2PF_2 的垂线 l2l_2.
(1) 求椭圆 EE 的标准方程； (2) 若直线 l1l_1，l2l_2 的交点 QQ 在椭圆 EE 上，求点 PP 的坐标.

2017 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知以 MM 为圆心的圆 M:x2+y2−12x−14y+60=0M:x^2+y^2-12x-14y+60=0 及其上一点 A(2,4)A(2,4).
(1) 设圆 NN 与 xx 轴相切，与圆 MM 外切，且圆心 NN 在直线 x=6x=6 上，求圆 NN 的标准方程； (2) 设平行于 OAOA 的直线 ll 与圆 MM 相交于 BB，CC 两点，且 BC=OABC=OA，求直线 ll 的方程； (3) 设点 T(t,0)T(t,0) 满足：存在圆 MM 上的两点 PP 和 QQ，使得 TA→+TP→=TQ→\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}，求实数 tt 的取值范围.

2016 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知直线 l:x−y−2=0l:x-y-2=0，抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）.
(1) 若直线 ll 过抛物线 CC 的焦点，求抛物线 CC 的方程； (2) 已知抛物线 CC 上存在关于直线 ll 对称的相异两点 PP 和 QQ.
(i) 求证：线段 PQPQ 的中点坐标为 (2−p,−p)(2-p,-p)； (ii) 求 pp 的取值范围.

2016 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，且右焦点 FF 到左准线 ll 的距离为 33.
(1) 求椭圆的标准方程； (2) 过 FF 的直线与椭圆交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 的垂直平分线分别交直线 ll 和 ABAB 于点 PP，CC，若 PC=2ABPC = 2AB，求直线 ABAB 的方程.

2015 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点. 顶点 BB 的坐标为 (0,b)(0, b). 连接 BF2BF_{2} 并延长交椭圆于点 AA，过点 AA 作 xx 轴的垂线交椭圆于另一点 CC，连接 F1CF_{1}C.
(1) 若点 CC 的坐标为 (43,13)\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)，且 BF2=2B F_{2} = \sqrt{2}，求椭圆的方程； (2) 若 F1C⊥ABF_{1}C \perp AB，求椭圆离心率 ee 的值.

2014 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，为了保护河上古桥 OAOA，规划建一座新桥 BCBC，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥 BCBC 与河岸 ABAB 垂直；保护区的边界为圆心 MM 在线段 OAOA 上并与 BCBC 相切的圆，且古桥两端 OO 和 AA 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m80 \mathrm{~m}. 经测量，点 AA 位于点 OO 正北方向 60 m60 \mathrm{~m} 处，点 CC 位于点 OO 正东方向 170 m170 \mathrm{~m} 处 （OCOC 为河岸）， tan⁡∠BCO=43\tan \angle BCO = \frac{4}{3}.
(1) 求新桥 BCBC 的长； (2) 当 OMOM 多长时，圆形保护区的面积最大？

2014 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，MM，NN 分别是椭圆 x24+y22=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于 PP，AA 两点，其中点 PP 在第一象限，过 PP 作 xx 轴的垂线，垂足为 CC，连接 ACAC，并延长交椭圆于点 BB，设直线 PAPA 的斜率为 kk.
(1) 当直线 PAPA 平分线段 MNMN 时，求 kk 的值； (2) 当 k=2k=2 时，求点 PP 到直线 ABAB 的距离 dd； (3) 对任意 k>0k>0，求证：PA⊥PBPA\perp PB.

2011 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，如图，已知椭圆 x29+y25=1\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 的左、右顶点为 AA，BB，右焦点为 FF. 过点 T(t,m)T(t,m) 的直线 TATA，TBTB 与此椭圆分别交于点 M(x1,y1)M(x_1,y_1)，N(x2,y2)N(x_2,y_2)，其中 m>0m>0，y1>0y_1>0，y2<0y_2<0.
(1) 设动点 PP 满足 PF2−PB2=4PF^2-PB^2=4，求点 PP 的轨迹； (2) 设 x1=2x_1=2，x2=13x_2=\frac{1}{3}，求点 TT 的坐标； (3) 设 t=9t=9，求证：直线 MNMN 必过 xx 轴上的一定点（其坐标与 mm 无关）.

2010 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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13解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，A1A_1，A2A_2，B1B_1，B2B_2 为椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 （a>b>0a>b>0）的四个顶点，FF 为其右焦点. 直线 A1B2A_1B_2 与直线 B1FB_1F 相交于点 TT，线段 OTOT 与椭圆的交点 MM 恰为线段 OTOT 的中点，则该椭圆的离心率为______.

2009 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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