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116分解析几何★★★★☆
已知抛物线 E:y2=8xE:y^2=8x，斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 经过点 (−1,0)\left( -1,0 \right)，等边三角形 ABCABC 的顶点 AA 在 EE 上，顶点 BB，CC 均在 ll 上. 下列结论正确的有（ ）
A.
EE 的准线方程为 x=−2x=-2
B.
若 ll 与 EE 没有公共点，则 k>2k>\sqrt{2}
C.
若 ll 与 EE 的唯一公共点为 BB，则 EE 的焦点在直线 ABAB 上
D.
若 k=2k=2，则 △ABC\triangle ABC 面积的最小值为 315\frac{\sqrt{3}}{15}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别是 F1F_1，F2F_2，左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2. 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 MM，NN 两点，且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M=\frac{5\pi}{6}，则（ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2=\frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1|=2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a=\sqrt2 时，四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt3

2025 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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1615分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\frac{\sqrt2}{2}，长轴长为 4.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (0,−2)(0,-2) 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt2，求 ∣AB∣|AB|.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left( 1,\dfrac{3}{2} \right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho=\rho\cos\theta+1.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程； (2) 设直线 ll 的参数方程为
{x=t,y=t+a,\begin{cases} x=t,\\ y=t+a, \end{cases}
（tt 为参数），若 CC 与 ll 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=2|AB|=2，求 aa 的值.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left(1,\dfrac32\right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线交 CC 于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=415\lvert AB \rvert=4\sqrt{15}.
(1) 求 pp； (2) 设 FF 为 CC 的焦点，MM，NN 为 CC 上两点，FM→⋅FN→=0\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0，求 △MFN\triangle MFN 面积的最小值.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0） 交于 AA，BB 两点，∣AB∣=415|AB|=4\sqrt{15}.
(1) 求 pp； (2) 设 FF 为 CC 的焦点，MM，NN 为 CC 上两点，且 FM→⋅FN→=0\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0，求 △MFN\triangle MFN 面积的最小值.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
抛物线 CC 的顶点为坐标原点 OO，焦点在 xx 轴上，直线 l:x=1l:x=1 交 CC 于 PP，QQ 两点，且 OP⊥OQOP\perp OQ. 已知点 M(2,0)M(2,0)，且 ⊙M\odot M 与 ll 相切.
(1) 求 CC，⊙M\odot M 的方程； (2) 设 A1A_1，A2A_2，A3A_3 是 CC 上的三个点，直线 A1A2A_1A_2，A1A3A_1A_3 均与 ⊙M\odot M 相切. 判断直线 A2A3A_2A_3 与 ⊙M\odot M 的位置关系，并说明理由.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x225+y2m2=1C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1（0<m<50<m<5）的离心率为 154\dfrac{\sqrt{15}}{4}，AA，BB 分别为 CC 的左，右顶点.
(1) 求 CC 的方程； (2) 若点 PP 在 CC 上，点 QQ 在直线 x=6x=6 上，且 ∣BP∣=∣BQ∣|BP|=|BQ|，BP⊥BQBP\perp BQ，求 △APQ\triangle APQ 的面积.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x225+y2m2=1C:\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1（0<m<50<m<5）的离心率为 154\dfrac{\sqrt{15}}{4}，AA，BB 分别为 CC 的左，右顶点.
(1) 求 CC 的方程； (2) 若点 PP 在 CC 上，点 QQ 在直线 x=6x=6 上，且 ∣BP∣=∣BQ∣|BP|=|BQ|，BP⊥BQBP\perp BQ，求 △APQ\triangle APQ 的面积.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E(0,\dfrac52) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求四边形 ADBEADBE 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E\left(0,\dfrac52\right) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求该圆的方程.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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16解析几何★★★★☆
已知点 M(−1,1)M(-1,1) 和抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x，过 CC 的焦点且斜率为 kk 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∠AMB=90∘\angle AMB=90^\circ，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
已知斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 C:x24+y23=1C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 的中点为 M(1,m)M(1,m)（m>0m>0）.
(1) 证明：k<−12k<-\dfrac12； (2) 设 FF 为 CC 的右焦点，PP 为 CC 上一点，且 FP→+FA→+FB→=0→\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{0}. 证明：∣FA→∣\left|\overrightarrow{FA}\right|，∣FP→∣\left|\overrightarrow{FP}\right|，∣FB→∣\left|\overrightarrow{FB}\right| 成等差数列，并求该数列的公差.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知斜率为 kk 的直线 ll 与椭圆 C:x24+y23=1C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 交于 AA，BB 两点，线段 ABAB 的中点为 M(1,m)M(1,m)（m>0m>0）.
(1) 证明：k<−12k<-\dfrac12； (2) 设 FF 为 CC 的右焦点，PP 为 CC 上一点，且 FP→+FA→+FB→=0→\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{0}. 证明：2∣FP→∣=∣FA→∣+∣FB→∣2\left|\overrightarrow{FP}\right|=\left|\overrightarrow{FA}\right|+\left|\overrightarrow{FB}\right|.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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