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116分解析几何★★★★☆
已知抛物线 E:y2=8xE:y^2=8x，斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 经过点 (−1,0)\left( -1,0 \right)，等边三角形 ABCABC 的顶点 AA 在 EE 上，顶点 BB，CC 均在 ll 上. 下列结论正确的有（ ）
A.
EE 的准线方程为 x=−2x=-2
B.
若 ll 与 EE 没有公共点，则 k>2k>\sqrt{2}
C.
若 ll 与 EE 的唯一公共点为 BB，则 EE 的焦点在直线 ABAB 上
D.
若 k=2k=2，则 △ABC\triangle ABC 面积的最小值为 315\frac{\sqrt{3}}{15}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别是 F1F_1，F2F_2，左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2. 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 MM，NN 两点，且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M=\frac{5\pi}{6}，则（ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2=\frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1|=2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a=\sqrt2 时，四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt3

2025 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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1615分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\frac{\sqrt2}{2}，长轴长为 4.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (0,−2)(0,-2) 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt2，求 ∣AB∣|AB|.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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106分解析几何★★★★☆
抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的准线为 ll，PP 为 CC 上的动点，过 PP 作圆 ⊙A:x2+(y−4)2=1\odot A:x^2+(y-4)^2=1 的一条切线，QQ 为切点；过 PP 作 ll 的垂线，垂足为 BB，则（ ）
A.
ll 与 ⊙A\odot A 相切
B.
当 PP，AA，BB 三点共线时，∣PQ∣=15|PQ|=\sqrt{15}
C.
当 ∣PB∣=2|PB|=2 时，PA⊥ABPA\perp AB
D.
满足 ∣PA∣=∣PB∣|PA|=|PB| 的点 PP 有且仅有 22 个

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 10 题 · 多选题

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2115分解析几何★★★★☆
已知双曲线 CC 的中心为坐标原点，左焦点为 (−25,0)(-2\sqrt5,0)，离心率为 5\sqrt5.
(1) 求 CC 的方程； (2) 记 CC 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 (−4,0)(-4,0) 的直线与 CC 的左支交于 MM，NN 两点，MM 在第二象限，直线 MA1MA_1 与 NA2NA_2 交于点 PP，证明：点 PP 在定直线上.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 21 题 · 解答题

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106分解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，过抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）焦点 FF 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点，其中 AA 在第一象限，点 M(p,0)M(p,0). 若 ∣AF∣=∣AM∣|AF|=|AM|，则（ ）
A.
直线 ABAB 的斜率为 262\sqrt6
B.
∣OB∣=∣OF∣|OB|=|OF|
C.
∣AB∣>4∣OF∣|AB|>4|OF|
D.
∠OAM+∠OBM<180∘\angle OAM+\angle OBM<180^\circ

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 10 题 · 多选题

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165分解析几何★★★★☆
已知直线 ll 与椭圆 x26+y23=1\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1 在第一象限交于 AA，BB 两点，ll 与 xx 轴，yy 轴分别交于 MM，NN 两点，且 ∣MA∣=∣NB∣|MA|=|NB|，∣MN∣=23|MN|=2\sqrt3，则 ll 的方程为______.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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2015分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），右焦点为 F(2,0)F\left(\sqrt2,0\right)，其离心率为 63\dfrac{\sqrt6}{3}.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 MM，NN 是椭圆 CC 上的两点，直线 MNMN 与曲线 x2+y2=b2x^2+y^2=b^2（x>0x>0） 相切. 证明：MM，NN，FF 三点共线的充要条件是 ∣MN∣=3|MN|=\sqrt3.

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点 FF 与抛物线 C2C_2 的焦点重合，C1C_1 的中心与 C2C_2 的顶点重合，过 FF 且与 xx 轴垂直的直线交 C1C_1 于 AA，BB 两点，交 C2C_2 于 CC，DD 两点，且 ∣CD∣=43∣AB∣|CD|=\dfrac{4}{3}|AB|.
(1) 求 C1C_1 的离心率； (2) 设 MM 是 C1C_1 与 C2C_2 的公共点. 若 ∣MF∣=5|MF|=5，求 C1C_1 与 C2C_2 的标准方程.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点 FF 与抛物线 C2C_2 的焦点重合，C1C_1 的中心与 C2C_2 的顶点重合. 过 FF 且与 xx 轴垂直的直线交 C1C_1 于 AA，BB 两点，交 C2C_2 于 CC，DD 两点，且 ∣CD∣=43∣AB∣\lvert CD\rvert=\dfrac{4}{3}\lvert AB\rvert.
(1) 求 C1C_1 的离心率； (2) 若 C1C_1 的四个顶点到 C2C_2 的准线距离之和为 1212，求 C1C_1 与 C2C_2 的标准方程.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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12解析几何★★★★☆
设 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，OO 为坐标原点，以 OFOF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 交于 PP，QQ 两点. 若 ∣PQ∣=∣OF∣|PQ|=|OF|，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
已知 F1F_1，F2F_2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的两个焦点，PP 为 CC 上的点，OO 为坐标原点.
(1) 若 △POF2\triangle POF_2 为等边三角形，求 CC 的离心率； (2) 如果存在点 PP，使得 PF1⊥PF2PF_1\perp PF_2，且 △F1PF2\triangle F_1PF_2 的面积等于 1616，求 bb 的值和 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过 FF 且斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，∣AB∣=8|AB|=8.
(1) 求 ll 的方程； (2) 求过点 AA，BB 且与 CC 的准线相切的圆的方程.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=2cos⁡θ,y=4sin⁡θ\begin{cases} x=2\cos\theta,\\ y=4\sin\theta \end{cases}
（θ\theta 为参数），直线 ll 的参数方程为
{x=1+tcos⁡α,y=2+tsin⁡α\begin{cases} x=1+t\cos\alpha,\\ y=2+t\sin\alpha \end{cases}
（tt 为参数）.
(1) 求 CC 和 ll 的直角坐标方程； (2) 若曲线 CC 截直线 ll 所得线段的中点坐标为 (1,2)(1,2)，求 ll 的斜率.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过 FF 且斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，∣AB∣=8\lvert AB\rvert=8.
(1) 求 ll 的方程； (2) 求过点 AA，BB 且与 CC 的准线相切的圆的方程.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，EPEP 交圆于 EE，CC 两点，PDPD 切圆于 DD，GG 为 CECE 上一点且 PG=PDPG = PD，连接 DGDG 并延长交圆于点 AA，作弦 ABAB 垂直 EPEP，垂足为 FF.
(1) 求证：ABAB 为圆的直径； (2) 若 AC=BDAC = BD，求证：AB=EDAB = ED.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
圆 x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 的切线与 xx 轴正半轴，yy 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 PP（如图）.
(1) 求点 PP 的坐标； (2) 焦点在 xx 轴上的椭圆 CC 过点 PP，且与直线 l:y=x+3l: y = x + \sqrt{3} 交于 AA，BB 两点，若 △PAB\triangle PAB 的面积为 22，求 CC 的标准方程.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，EPEP 交圆于 EE，CC 两点，PDPD 切圆于 DD，GG 为 CECE 上一点且 PG=PDPG = PD，连接 DGDG 并延长交圆于点 AA，作弦 ABAB 垂直 EPEP，垂足为 FF.
(1) 求证：ABAB 为圆的直径； (2) 若 AC=BDAC = BD，求证：AB=EDAB = ED.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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15解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，CC 与过原点的直线相交于 AA，BB 两点，连接 AFAF，BFBF，若 ∣AB∣=10|AB| = 10，∣AF∣=6|AF| = 6，cos⁡∠ABF=45\cos \angle ABF = \frac{4}{5}，则椭圆 CC 的离心率 e=e =______.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
如图，抛物线 C1:x2=4yC_1:x^2 = 4y，C2:x2=−2pyC_2:x^2 = -2py（p>0p > 0）. 点 M(x0,y0)M(x_0, y_0) 在抛物线 C2C_2 上，过 MM 作 C1C_1 的切线，切点为 AA，BB（MM 为原点 OO 时，AA，BB 重合于 OO）. 当 x0=1−2x_0 = 1 - \sqrt{2} 时，切线 MAMA 的斜率为 −12-\frac{1}{2}.
(1) 求 pp 的值； (2) 当 MM 在 C2C_2 上运动时，求线段 ABAB 中点 NN 的轨迹方程（AA，BB 重合于 OO 时，中点为 OO）.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，CC 与过原点的直线相交于 AA，BB 两点，连接 AFAF，BFBF，若 ∣AB∣=10|AB| = 10，∣BF∣=8|BF| = 8，cos⁡∠ABF=45\cos \angle ABF = \frac{4}{5}，则 CC 的离心率为（ ）
A.
35\frac{3}{5}
B.
57\frac{5}{7}
C.
45\frac{4}{5}
D.
67\frac{6}{7}

2013 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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15解析几何★★★★☆
已知 FF 为双曲线 C:x29−y216=1C:\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 的左焦点，PP，QQ 为 CC 上的点. 若 PQPQ 的长等于虚轴长的 22 倍，点 A(5,0)A(5,0) 在线段 PQPQ 上，则 △PQF\triangle PQF 的周长为______.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
如图，抛物线 C1:x2=4yC_{1}:x^{2} = 4y，C2:x2=−2pyC_{2}:x^{2} = -2py（p>0p > 0）. 点 M(x0,y0)M(x_{0}, y_{0}) 在抛物线 C2C_{2} 上，过 MM 作 C1C_{1} 的切线，切点为 AA，BB（MM 为原点 OO 时，AA，BB 重合于 OO）. 当 x0=1−2x_{0} = 1 - \sqrt{2} 时，切线 MAMA 的斜率为 −12-\frac{1}{2}.
(1) 求 pp 的值； (2) 当 MM 在 C2C_{2} 上运动时，求线段 ABAB 中点 NN 的轨迹方程（AA，BB 重合于 OO 时，中点为 OO）.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，椭圆 C0:x2a2+y2b2=1C_{0}:\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0， a\ a，bb 为常数），动圆 C1:x2+y2=t12C_1: x^2 + y^2 = t_1^2（b<t1<ab < t_1 < a）. 点 A1A_{1}，A2A_{2} 分别为 C0C_0 的左，右顶点，C1C_1 与 C0C_0 相交于 AA，BB，CC，DD 四点.
(1) 求直线 AA1AA_{1} 与直线 A2BA_{2}B 交点 MM 的轨迹方程. (2) 设动圆 C2:x2+y2=t22C_{2}: x^{2} + y^{2} = t_{2}^{2} 与 C0C_{0} 相交于 A′A'，B′B'，C′C'，D′D' 四点，其中 b<t2<ab < t_{2} < a，t1≠t2t_{1} \neq t_{2}. 若矩形 ABCDABCD 与矩形 A′B′C′D′A'B'C'D' 的面积相等，证明：t12+t22t_{1}^{2} + t_{2}^{2} 为定值.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
如图，动圆 C1:x2+y2=t2C_1: x^2 + y^2 = t^2，1<t<31 < t < 3，与椭圆 C2:x29+y2=1C_2: \frac{x^2}{9} + y^2 = 1 相交于 AA，BB，CC，DD 四点，点 A1A_1，A2A_2 分别为 C2C_2 的左，右顶点.
(1) 当 tt 为何值时，矩形 ABCDABCD 的面积取得最大值？ 并求出其最大面积； (2) 求直线 AA1AA_1 与直线 A2BA_2B 交点 MM 的轨迹方程.

2012 · 辽宁 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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