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116分解析几何★★★★☆
已知抛物线 E:y2=8xE:y^2=8x，斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 经过点 (−1,0)\left( -1,0 \right)，等边三角形 ABCABC 的顶点 AA 在 EE 上，顶点 BB，CC 均在 ll 上. 下列结论正确的有（ ）
A.
EE 的准线方程为 x=−2x=-2
B.
若 ll 与 EE 没有公共点，则 k>2k>\sqrt{2}
C.
若 ll 与 EE 的唯一公共点为 BB，则 EE 的焦点在直线 ABAB 上
D.
若 k=2k=2，则 △ABC\triangle ABC 面积的最小值为 315\frac{\sqrt{3}}{15}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别是 F1F_1，F2F_2，左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2. 以 F1F2F_1F_2 为直径的圆与 CC 的一条渐近线交于 MM，NN 两点，且 ∠NA1M=5π6\angle NA_1M=\frac{5\pi}{6}，则（ ）
A.
∠A1MA2=π6\angle A_1MA_2=\frac{\pi}{6}
B.
∣MA1∣=2∣MA2∣|MA_1|=2|MA_2|
C.
CC 的离心率为 13\sqrt{13}
D.
当 a=2a=\sqrt2 时，四边形 NA1MA2NA_1MA_2 的面积为 838\sqrt3

2025 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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1615分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\frac{\sqrt2}{2}，长轴长为 4.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (0,−2)(0,-2) 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt2，求 ∣AB∣|AB|.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 16 题 · 解答题

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106分解析几何★★★★☆
抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的准线为 ll，PP 为 CC 上的动点，过 PP 作圆 ⊙A:x2+(y−4)2=1\odot A:x^2+(y-4)^2=1 的一条切线，QQ 为切点；过 PP 作 ll 的垂线，垂足为 BB，则（ ）
A.
ll 与 ⊙A\odot A 相切
B.
当 PP，AA，BB 三点共线时，∣PQ∣=15|PQ|=\sqrt{15}
C.
当 ∣PB∣=2|PB|=2 时，PA⊥ABPA\perp AB
D.
满足 ∣PA∣=∣PB∣|PA|=|PB| 的点 PP 有且仅有 22 个

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 10 题 · 多选题

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2115分解析几何★★★★☆
已知双曲线 CC 的中心为坐标原点，左焦点为 (−25,0)(-2\sqrt5,0)，离心率为 5\sqrt5.
(1) 求 CC 的方程； (2) 记 CC 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 (−4,0)(-4,0) 的直线与 CC 的左支交于 MM，NN 两点，MM 在第二象限，直线 MA1MA_1 与 NA2NA_2 交于点 PP，证明：点 PP 在定直线上.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 21 题 · 解答题

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11解析几何★★★★☆
双曲线 CC 的两个焦点为 F1F_1，F2F_2，以 CC 的实轴为直径的圆记为 DD，过 F1F_1 作 DD 的切线与 CC 交于 MM，NN 两点，且 cos⁡∠F1NF2=35\cos \angle F_1NF_2=\frac{3}{5}，则 CC 的离心率为（ ）
A.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
B.
32\frac{3}{2}
C.
132\frac{\sqrt{13}}{2}
D.
172\frac{\sqrt{17}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 11 题 · 多选题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，对称轴为 xx 轴，yy 轴，且过 A(0,−2)A(0,-2)，B(32,−1)B\left( \frac{3}{2},-1 \right) 两点.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设过点 P(1,−2)P(1,-2) 的直线交 EE 于 MM，NN 两点，过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT，点 HH 满足 MT=THMT=TH. 证明：直线 HNHN 过定点.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，对称轴为 xx 轴，yy 轴，且过 A(0,−2)A(0,-2)，B(32,−1)B\left(\dfrac32,-1\right) 两点.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设过点 P(1,−2)P(1,-2) 的直线交 EE 于 MM，NN 两点，过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT，点 HH 满足 MT=THMT=TH. 证明：直线 HNHN 过定点.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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11解析几何★★★★☆
设 BB 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的上顶点，若 CC 上的任意一点 PP 都满足 ∣PB∣≤2b|PB|\le 2b，则 CC 的离心率的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[22,1)\left[ \frac{\sqrt2}{2},1 \right)
B.
[12,1)\left[ \frac{1}{2},1 \right)
C.
(0,22]\left( 0,\frac{\sqrt2}{2} \right]
D.
(0,12]\left( 0,\frac{1}{2} \right]

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点 FF 到准线的距离为 22.
(1) 求 CC 的方程； (2) 已知 OO 为坐标原点，点 PP 在 CC 上，点 QQ 满足 PQ→=9QF→\overrightarrow{PQ}=9\overrightarrow{QF}，求直线 OQOQ 斜率的最大值.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点 FF 与抛物线 C2C_2 的焦点重合，C1C_1 的中心与 C2C_2 的顶点重合，过 FF 且与 xx 轴垂直的直线交 C1C_1 于 AA，BB 两点，交 C2C_2 于 CC，DD 两点，且 ∣CD∣=43∣AB∣|CD|=\dfrac{4}{3}|AB|.
(1) 求 C1C_1 的离心率； (2) 设 MM 是 C1C_1 与 C2C_2 的公共点. 若 ∣MF∣=5|MF|=5，求 C1C_1 与 C2C_2 的标准方程.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点 FF 与抛物线 C2C_2 的焦点重合，C1C_1 的中心与 C2C_2 的顶点重合. 过 FF 且与 xx 轴垂直的直线交 C1C_1 于 AA，BB 两点，交 C2C_2 于 CC，DD 两点，且 ∣CD∣=43∣AB∣\lvert CD\rvert=\dfrac{4}{3}\lvert AB\rvert.
(1) 求 C1C_1 的离心率； (2) 若 C1C_1 的四个顶点到 C2C_2 的准线距离之和为 1212，求 C1C_1 与 C2C_2 的标准方程.

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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12解析几何★★★★☆
设 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，OO 为坐标原点，以 OFOF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 交于 PP，QQ 两点. 若 ∣PQ∣=∣OF∣|PQ|=|OF|，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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20解析几何★★★★☆
已知 F1F_1，F2F_2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的两个焦点，PP 为 CC 上的点，OO 为坐标原点.
(1) 若 △POF2\triangle POF_2 为等边三角形，求 CC 的离心率； (2) 如果存在点 PP，使得 PF1⊥PF2PF_1\perp PF_2，且 △F1PF2\triangle F_1PF_2 的面积等于 1616，求 bb 的值和 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过 FF 且斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，∣AB∣=8|AB|=8.
(1) 求 ll 的方程； (2) 求过点 AA，BB 且与 CC 的准线相切的圆的方程.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为
{x=2cos⁡θ,y=4sin⁡θ\begin{cases} x=2\cos\theta,\\ y=4\sin\theta \end{cases}
（θ\theta 为参数），直线 ll 的参数方程为
{x=1+tcos⁡α,y=2+tsin⁡α\begin{cases} x=1+t\cos\alpha,\\ y=2+t\sin\alpha \end{cases}
（tt 为参数）.
(1) 求 CC 和 ll 的直角坐标方程； (2) 若曲线 CC 截直线 ll 所得线段的中点坐标为 (1,2)(1,2)，求 ll 的斜率.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点为 FF，过 FF 且斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，∣AB∣=8\lvert AB\rvert=8.
(1) 求 ll 的方程； (2) 求过点 AA，BB 且与 CC 的准线相切的圆的方程.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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