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15解析几何★★★★☆
在平面内，OO 为坐标原点，抛物线 y2=2xy^2=2x 上有 AA，BB，CC，DD 四个点，AA，BB，CC，DD 的纵坐标分别为 yAy_A，yBy_B，yCy_C，yDy_D，直线 ABAB 与直线 CDCD 交 xx 轴于点 PP，直线 ACAC 交 xx 轴于点 MM，直线 BDBD 交 xx 轴于点 NN，以下说法正确的有______.
① 若 PP 与抛物线焦点重合，则 yAyB=−2y_Ay_B=-2； ② yAyB=yCyDy_Ay_B=y_Cy_D； ③ ∣OM∣∣ON∣=2∣OP∣2|OM||ON|=2|OP|^2； ④ ∣yA−yC∣∣OP∣=∣yB−yD∣∣OM∣\left| y_A-y_C \right||OP|=\left| y_B-y_D \right||OM|； ⑤ S△ACPS△BDP=(∣OM∣∣ON∣)2\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle BDP}}=\left( \frac{|OM|}{|ON|} \right)^2

2026 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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12解析几何★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，AC=5AC=5，BC=14BC=\sqrt{14}. 已知点 AA，BB，CC 分别为椭圆 44 个顶点和 22 个焦点中的三点，则该椭圆的离心率为______.

2026 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 Γ1:x2a2+y2=1\Gamma_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1） 与椭圆 Γ2:x2b2+2+y2b2=1\Gamma_2:\dfrac{x^2}{b^2+2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 相交于 AA，BB，CC，DD 四点，且 Γ1\Gamma_1 和 Γ2\Gamma_2 的四个焦点在同一个圆上，则 b2=‾b^2=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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10解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y26−a2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{6-a^2}=1（a>0a>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 通过 F2F_2 且倾斜角为 π3\dfrac\pi3 的直线与双曲线交于第一象限的点 AA，延长 AF2AF_2 至 BB 使得 AB=AF1AB=AF_1. 若 △BF1F2\triangle BF_1F_2 的面积为 363\sqrt6，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2025 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 是一块边长为 44 的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线 MNMN 为以 ADAD 为对称轴的抛物线的一部分，且 DM=DN=3DM=DN=3. 工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料 BQPRBQPR，当其面积有最大值时，AQAQ 的长为______.

2025 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
正方形草地 ABCDABCD 边长 1.21.2，EE 到 ABAB，ADAD 距离为 0.20.2，FF 到 BCBC，CDCD 距离为 0.40.4，有个位于正方形草地 ABCDABCD 内的圆形通道经过 EE，FF，且与 ADAD 相切于 ADAD 边上一点，求圆形通道的周长______ .（精确到 0.010.01）

2024 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 AA 在 CC 上，点 BB 在 yy 轴上，F1A⊥F1BF_1A\perp F_1B，F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A}=-\frac23\overrightarrow{F_2B}，则 CC 的离心率为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1C:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），CC 的上顶点为 AA，两个焦点为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\frac12. 过 F1F_1 且垂直于 AF2AF_2 的直线与 CC 交于 DD，EE 两点，∣DE∣=6|DE|=6，则 △ADE\triangle ADE 的周长是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知直线 ll 与椭圆 x26+y23=1\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1 在第一象限交于 AA，BB 两点，ll 与 xx 轴，yy 轴分别交于 MM，NN 两点，且 ∣MA∣=∣NB∣|MA|=|NB|，∣MN∣=23|MN|=2\sqrt3，则 ll 的方程为______.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2=1\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1，其中 a>0a>0，双曲线右支上有任意两点 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1)，P2(x2,y2)P_2(x_2,y_2)，满足 x1x2−y1y2>0x_1x_2-y_1y_2>0 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左焦点为 FF，过 FF 且斜率为 b4a\frac{b}{4a} 的直线交双曲线于点 A(x1,y1)A(x_1,y_1)，交双曲线的渐近线于点 B(x2,y2)B(x_2,y_2)，且 x1<0<x2x_1<0<x_2. 若 ∣FB∣=3∣FA∣|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是______.

2022 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2+y2b2=1x^2+\dfrac{y^2}{b^2}=1（0<b<10<b<1） 的左，右焦点为 F1F_1，F2F_2，以 OO 为顶点，F2F_2 为焦点作抛物线交椭圆于 PP，且 ∠PF1F2=45∘\angle PF_1F_2=45^\circ，则抛物线的准线方程是______.

2021 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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155分三角函数★★★★☆
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. OO 为圆孔及轮廓圆弧 ABAB 所在圆的圆心，AA 是圆弧 ABAB 与直线 AGAG 的切点，BB 是圆弧 ABAB 与直线 BCBC 的切点，四边形 DEFGDEFG 为矩形，BC⊥DGBC\perp DG，垂足为 CC，tan⁡∠ODC=35\tan\angle ODC=\dfrac{3}{5}，BH∥DGBH\parallel DG，EF=12 cmEF=12 \mathrm{~cm}，DE=2 cmDE=2 \mathrm{~cm}，AA 到直线 DEDE 和 EFEF 的距离均为 7 cm7 \mathrm{~cm}，圆孔半径为 1 cm1 \mathrm{~cm}，则图中阴影部分的面积为______\ cm2\mathrm{cm}^2.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. OO 为圆孔及轮廓圆弧 ABAB 所在圆的圆心，AA 是圆弧 ABAB 与直线 AGAG 的切点，BB 是圆弧 ABAB 与直线 BCBC 的切点，四边形 DEFGDEFG 为矩形，BC⊥DGBC\perp DG，垂足为 CC，tan⁡∠ODC=35\tan\angle ODC=\dfrac35，BH∥DGBH\parallel DG，EF=12 cmEF=12 \mathrm{~cm}，DE=2 cmDE=2 \mathrm{~cm}，AA 到直线 DEDE 和 EFEF 的距离均为 7 cm7 \mathrm{~cm}，圆孔半径为 1 cm1 \mathrm{~cm}，则图中阴影部分的面积为______cm2\mathrm{cm}^2.

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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10解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x24+y23=1C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 的右焦点为 FF，直线 ll 经过椭圆右焦点 FF，交椭圆 CC 于 PP，QQ 两点（点 PP 在第二象限），若点 QQ 关于 xx 轴对称点为 Q′Q'，且满足 PQ⊥FQ′PQ\perp FQ'，求直线 ll 的方程是______.

2020 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知 P ⁣(32,0)P\!\left(\dfrac{\sqrt3}{2},0\right)，AA，BB 是圆 C:x2+(y−12)2=36C:x^2+\left(y-\dfrac12\right)^2=36 上的两个动点，满足 PA=PBPA=PB，则 △PAB\triangle PAB 面积的最大值是______.

2020 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an<an+1a_n<a_{n+1}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），若点 Pn(n,an)P_n(n,a_n) 在双曲线 x26−y22=1\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1 上，则 lim⁡n→∞∣PnPn+1∣=\displaystyle\lim_{n\to\infty}|P_nP_{n+1}|=______.

2019 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
在椭圆 x24+y22=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1 上任意一点 PP，QQ 与 PP 关于 xx 轴对称，若有 F1P→⋅F2P→≤1\overrightarrow{F_1P}\cdot\overrightarrow{F_2P}\le1，则 F1P→\overrightarrow{F_1P} 与 F2Q→\overrightarrow{F_2Q} 的夹角范围为______.

2019 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知椭圆 x29+y25=1\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1 的左焦点为 FF，点 PP 在椭圆上且在 xx 轴的上方，若线段 PFPF 的中点在以原点 OO 为圆心，∣OF∣|OF| 为半径的圆上，则直线 PFPF 的斜率是______.

2019 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知点 M(−1,1)M(-1,1) 和抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x，过 CC 的焦点且斜率为 kk 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∠AMB=90∘\angle AMB=90^\circ，则 k=‾k=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），双曲线 N:x2m2−y2n2=1N:\dfrac{x^2}{m^2}-\dfrac{y^2}{n^2}=1. 若双曲线 NN 的两条渐近线与椭圆 MM 的四个交点及椭圆 MM 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 MM 的离心率为______；双曲线 NN 的离心率为______.

2018 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12解析几何★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 的边长为 2020 米，圆 OO 的半径为 11 米，圆心是正方形的中心，点 PP，QQ 分别在线段 ADAD，CBCB 上，若线段 PQPQ 与圆 OO 有公共点，则称点 QQ 在点 PP 的“盲区”中，已知点 PP 以 1.51.5 米/秒的速度从 AA 出发向 DD 移动，同时，点 QQ 以 11 米/秒的速度从 CC 出发向 BB 移动，则在点 PP 从 AA 移动到 DD 的过程中，点 QQ 在点 PP 的盲区中的时长约为______秒（精确到 0.10.1）.

2018 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，AA 为直线 l:y=2xl:y=2x 上在第一象限内的点，B(5,0)B(5,0)，以 ABAB 为直径的圆 CC 与直线 ll 交于另一点 DD. 若 AB→⋅CD→=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0，则点 AA 的横坐标为______.

2018 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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17解析几何★★★★☆
已知点 P(0,1)P(0,1)，椭圆 x24+y2=m\dfrac{x^2}{4}+y^2=m（m>1m>1）上两点 AA，BB 满足 AP→=2PB→\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}，则当 m=m=______ 时，点 BB 横坐标的绝对值最大.

2018 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题

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