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共找到 93 题
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09解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左焦点为 FF，AA 是右顶点，PP 是双曲线上一点，满足 ∣FA∣=∣FP∣|FA|=|FP|，∠FAP=30∘\angle FAP=30^\circ，则双曲线离心率为（ ）
A.
44
B.
83\frac{8}{3}
C.
85\frac{8}{5}
D.
43\frac{4}{3}

2026 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，以右焦点 F2F_2 为焦点的抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）与双曲线在第一象限交于 PP，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=3∣F1F2∣|PF_1|+|PF_2|=3|F_1F_2|，则双曲线离心率 e=e=（ ）
A.
2
B.
5
C.
2+12\frac{\sqrt2+1}{2}
D.
5+12\frac{\sqrt5+1}{2}

2025 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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08解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. PP 是双曲线右支上一点，且直线 PF2PF_2 的斜率为 2. △PF1F2\triangle PF_1F_2 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A.
x22−y28=1\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{8}=1
B.
x24−y28=1\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1
C.
x28−y22=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{2}=1
D.
x28−y24=1\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1

2024 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
对于曲线 CC，若存在点 MM，使得对任意的点 P∈CP\in C，都存在 Q∈CQ\in C，且 ∣PM∣⋅∣QM∣=1\left|PM\right|\cdot\left|QM\right|=1，则称曲线 CC 为“自相关曲线”. 有以下结论：
① 任何椭圆都是“自相关曲线”； ② 存在双曲线是“自相关曲线”. 关于上述两个结论，说法正确的是（ ）.
A.
① 成立，② 成立
B.
① 成立，② 不成立
C.
① 不成立，② 成立
D.
① 不成立，② 不成立

2023 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
设 Ω={(x,y)∣(x−k)2+(y−k2)2=4∣k∣, k∈Z}\Omega=\{(x,y)\mid (x-k)^2+(y-k^2)^2=4|k|,\ k\in\mathbf{Z}\}，有结论：
① 存在直线 ll，使得 Ω\Omega 中不存在点在 ll 上，但存在点在 ll 两侧； ② 存在直线 ll，使得 Ω\Omega 中存在无数个点在 ll 上.
关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
A.
\circled1\circled{1}成立，\circled2\circled{2}成立
B.
\circled1\circled{1}成立，\circled2\circled{2}不成立
C.
\circled1\circled{1}不成立，\circled2\circled{2}成立
D.
\circled1\circled{1}不成立，\circled2\circled{2}不成立

2022 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
设 BB 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的上顶点，若 CC 上的任意一点 PP 都满足 ∣PB∣≤2b|PB|\le 2b，则 CC 的离心率的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[22,1)\left[ \frac{\sqrt2}{2},1 \right)
B.
[12,1)\left[ \frac{1}{2},1 \right)
C.
(0,22]\left( 0,\frac{\sqrt2}{2} \right]
D.
(0,12]\left( 0,\frac{1}{2} \right]

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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15解析几何★★★★☆
已知椭圆 x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1，作垂直于 xx 轴的垂线交椭圆于 AA，BB 两点，作垂直于 yy 轴的垂线交椭圆于 CC，DD 两点，且 AB=CDAB=CD，两垂线相交于点 PP，则点 PP 的轨迹是（ ）.
A.
椭圆
B.
双曲线
C.
圆
D.
抛物线

2020 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
设 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，OO 为坐标原点，以 OFOF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 交于 PP，QQ 两点. 若 ∣PQ∣=∣OF∣|PQ|=|OF|，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x23−y2=1C:\frac{x^2}{3}-y^2=1，OO 为坐标原点，FF 为 CC 的右焦点，过 FF 的直线与 CC 的两条渐近线的交点分别为 MM，NN. 若 △OMN\triangle OMN 为直角三角形，则 ∣MN∣=\lvert MN\rvert=（ ）
A.
32\frac32
B.
33
C.
232\sqrt3
D.
44

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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07解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，记 dd 为点 P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta,\sin\theta) 到直线 x−my−2=0x-my-2=0 的距离，当 θ\theta，mm 变化时，dd 的最大值为（ ）.
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2018 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
设 AA，BB 是椭圆 C:x23+y2m=1C:\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{m}=1 长轴的两个端点，若 CC 上存在点 MM 满足 ∠AMB=120∘\angle AMB=120^\circ，则 mm 的取值范围是（ ）
A.
(0,1]∪[9,+∞)(0,1]\cup[9,+\infty)
B.
(0,3]∪[9,+∞)(0,\sqrt3]\cup[9,+\infty)
C.
(0,1]∪[4,+∞)(0,1]\cup[4,+\infty)
D.
(0,3]∪[4,+∞)(0,\sqrt3]\cup[4,+\infty)

2017 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12平面向量★★★★☆
在矩形 ABCDABCD 中，AB=1AB=1，AD=2AD=2，动点 PP 在以点 CC 为圆心且与 BDBD 相切的圆上. 若 AP→=λAB→+μAD→\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}，则 λ+μ\lambda+\mu 的最大值为（ ）
A.
33
B.
222\sqrt2
C.
5\sqrt5
D.
22

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，FF 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点，AA，BB 分别为 CC 的左，右顶点，PP 为 CC 上一点，且 PF⊥xPF\perp x 轴，过点 AA 的直线 ll 与线段 PFPF 交于点 MM，与 yy 轴交于点 EE. 若直线 BMBM 经过 OEOE 的中点，则 CC 的离心率为（ ）
A.
13\dfrac13
B.
12\dfrac12
C.
23\dfrac23
D.
34\dfrac34

2016 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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24解析几何★★★★☆
对于椭圆 C(a,b):x2a2+y2b2=1C_{(a,b)}:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0，a≠ba\neq b），若点 (x0,y0)(x_0,y_0) 满足 x02a2+y02b2<1\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}<1，则称该点在椭圆 C(a,b)C_{(a,b)} 内.在平面直角坐标系中，若点 AA 在过点 (2,1)(2,1) 的任意椭圆 C(a,b)C_{(a,b)} 内或椭圆 C(a,b)C_{(a,b)} 上，则满足条件的点 AA 构成的图形为（ ）.
A.
三角形及其内部
B.
矩形及其内部
C.
圆及其内部
D.
椭圆及其内部

2016 · 上海 · 春季 · 第 24 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
1
D.
2

2015 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
设 Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n}, y_{n}) 是直线 2x−y=nn+12x - y = \frac{n}{n + 1} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）与圆 x2+y2=2x^{2} + y^{2} = 2 在第一象限的交点，则极限 lim⁡n→∞yn−1xn−1=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =（ ）
A.
−1-1
B.
−12-\frac{1}{2}
C.
11
D.
22

2015 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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07解析几何★★★★☆
如图，斜线段 ABAB 与平面 α\alpha 所成的角为 60∘60^\circ，BB 为斜足，平面 α\alpha 上的动点 PP 满足 ∠PAB=30∘\angle PAB=30^\circ，则点 PP 的轨迹是（ ）
A.
直线
B.
抛物线
C.
椭圆
D.
双曲线的一支

2015 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的右焦点为 FF，短轴的一个端点为 MM，直线 l:3x−4y=0l: 3x - 4y = 0 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点. 若 ∣AF∣+∣BF∣=4|AF| + |BF| = 4，点 MM 到直线 ll 的距离不小于 45\frac{4}{5}，则椭圆 EE 的离心率的取值范围是（ ）
A.
(0,32]\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]
B.
(0,34]\left(0, \frac{3}{4}\right]
C.
[32,1)\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)
D.
[34,1)\left[\frac{3}{4}, 1\right)

2015 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，过 FF 作 AFAF 的垂线与双曲线交于 BB，CC 两点，过 BB，CC 分别作 ACAC，ABAB 的垂线，两垂线交于点 DD. 若 DD 到直线 BCBC 的距离小于 a+a2+b2a + \sqrt{a^2 + b^2}，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 记 c=a2+b2c=\sqrt{a^2+b^2}，则右焦点和右顶点分别为 F(c,0)F(c,0)、A(a,0)A(a,0). 直线 BCBC 为 x=cx=c，由双曲线方程得交点的纵坐标满足 c2a2−y2b2=1\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，⟹\Longrightarrow，y2=b4a2y^2=\frac{b^4}{a^2}. 取 q=b2a>0q=\frac{b^2}{a}>0，于是 B(c,q)B(c,q)，C(c,−q)C(c,-q). 直线 ACAC 的斜率为 −qc−a-\frac{q}{c-a}，直线 ABAB 的斜率为 qc−a\frac{q}{c-a}，其中 c−a>0c-a>0. 因此过 BB 作 ACAC 的垂线、过 CC 作 ABAB 的垂线，交点 DD 满足 y−q=c−aq(x−c)y-q=\frac{c-a}{q}(x-c)，y+q=−c−aq(x−c)y+q=-\frac{c-a}{q}(x-c). 两式相加得 y=0y=0，再代入任一式得 x−c=−q2c−ax-c=-\frac{q^2}{c-a}，所以
d(D,BC)=q2c−a=b4a2c−a=b2(a+c)a2d(D,BC)=\frac{q^2}{c-a}=\frac{\frac{b^4}{a^2}}{c-a}=\frac{b^2(a+c)}{a^2}
令 t=ca>1t=\frac ca>1，则 b2a2=t2−1\frac{b^2}{a^2}=t^2-1，题设不等式化为
a(t2−1)(t+1)<a(t+1)a(t^2-1)(t+1)<a(t+1)
即 1<t<21<t<\sqrt2. 双曲线渐近线斜率为 ±ba=±t2−1\pm\frac ba=\pm\sqrt{t^2-1}，故其取值范围为 (−1,0)∪(0,1)(-1,0)\cup(0,1)，答案为 A. \end{solution}
A.
(−1,0)∪(0,1)(-1,0)\cup (0,1)
B.
(−∞,−1)∪(1,+∞)(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)
C.
(−2,0)∪(0,2)(-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})
D.
(−∞,−2)∪(2,+∞)(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)

2015 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10不等式★★★★☆
若不等式组
{x+y−2⩽0,x+2y−2⩾0,x−y+2m⩾0,\begin{cases} x + y - 2 \leqslant 0,\\ x + 2y - 2 \geqslant 0,\\ x - y + 2m \geqslant 0, \end{cases}
表示的平面区域为三角形，且其面积等于 43\frac{4}{3}，则 mm 的值为（ ）
A.
−3-3
B.
11
C.
43\frac{4}{3}
D.
33

2015 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
设直线 ll 与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 相交于 AA，BB 两点，与圆 (x−5)2+y2=r2(x - 5)^{2} + y^{2} = r^{2}（r>0r > 0）相切于点 MM，且 MM 为线段 ABAB 的中点. 若这样的直线 ll 恰有 4 条，则 rr 的取值范围是（ ）
\begin{solution} 设抛物线上两交点对应的参数为 uu，vv，即 A=(u2,2u)A=(u^2,2u)，B=(v2,2v)B=(v^2,2v)，并记 s=u+vs=u+v，p=uvp=uv. 则弦 ABAB 的方向向量可取 (s,2)(s,2)，其中点为 M=(s2−2p2,s)M=\left(\dfrac{s^2-2p}{2},s\right).
若 s≠0s\ne0，由直线 ABAB 与半径 M−(5,0)M-(5,0) 垂直，得
(s2−2p2−5,s)⋅(s,2)=0\left(\frac{s^2-2p}{2}-5,s\right)\cdot(s,2)=0
从而 p=s22−3p=\dfrac{s^2}{2}-3. 于是 M=(3,s)M=(3,s)，而两交点不同的条件为 s2−4p=12−s2>0s^2-4p=12-s^2>0，即 ∣s∣<23\lvert s\rvert<2\sqrt3. 此时 r=∣M−(5,0)∣=4+s2r=\lvert M-(5,0)\rvert=\sqrt{4+s^2}，所以当 2<r<42<r<4 时有两个不同的 ss，从而有两条非竖直直线.
当 s=0s=0 时，弦为竖直直线 x=cx=c，且 c>0c>0 才能与抛物线交于两个不同点. 它与圆相切的条件为 ∣c−5∣=r\lvert c-5\rvert=r. 在 0<r<50<r<5 时得到两条竖直切线 x=5−rx=5-r 和 x=5+rx=5+r. 因而恰有四条直线的条件为 2<r<42<r<4，故选 D. \end{solution}
A.
(1,3)(1,3)
B.
(1,4)(1,4)
C.
(2,3)(2,3)
D.
(2,4)(2,4)

2015 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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24解析几何★★★★☆
如图，在底面半径和高均为 11 的圆锥中，ABAB，CDCD 是底面圆 OO 的两条互相垂直的直径，EE 是母线 PBPB 的中点. 已知过 CDCD 与 EE 的平面与圆锥侧面的交线是以 EE 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 PP 的距离为（ ）
A.
11
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
D.
104\frac{\sqrt{10}}{4}

2014 · 上海 · 春季 · 第 24 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
设 PP，QQ 分别为圆 x2+(y−6)2=2x^{2} + (y - 6)^{2} = 2 和椭圆 x210+y2=1\frac{x^2}{10} + y^2 = 1 上的点，则 PP，QQ 两点间的最大距离是（ ）
A.
525\sqrt{2}
B.
46+2\sqrt{46} + \sqrt{2}
C.
7+27 + \sqrt{2}
D.
626\sqrt{2}

2014 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，AA，BB 分别是 xx 轴和 yy 轴上的动点，若以 ABAB 为直径的圆 CC 与直线 2x+y−4=02x + y - 4 = 0 相切，则圆 CC 面积的最小值为（ ）
A.
45π\frac{4}{5}\pi
B.
34π\frac{3}{4}\pi
C.
(6−25)π(6 - 2\sqrt{5})\pi
D.
54π\frac{5}{4}\pi

2014 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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