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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx=b 截得的线段长为 3\sqrt{3}.
(1) 求 CC 的标准方程； (2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2+y^2=b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)（y1<y2y_1<y_2），AA 是椭圆的上顶点. 记直线 APAP，AQAQ 的斜率分别为 k1k_1，k2k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}.

2026 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知双曲线 Γ:x22−y22=1\Gamma:\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{2}=1，过点 M(m,0)M(m,0) 作不垂直于 xx 轴的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 AA，BB 两点.
(1) 求双曲线 Γ\Gamma 的离心率； (2) 若点 A(3,1)A(\sqrt3,1)，点 BB 在双曲线的右支上，且 BB 是 AMAM 的中点，求直线 ll 的斜率； (3) 若 m>0m>0，F1F_1，F2F_2 分别是双曲线 Γ\Gamma 的左右焦点，A′A' 是 A 关于 yy 轴的对称点，若存在直线 ll 使得 F1A′→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1A'}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，求 mm 的取值范围.

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1615分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\frac{\sqrt2}{2}，长轴长为 4.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (0,−2)(0,-2) 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 2\sqrt2，求 ∣AB∣|AB|.

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），其离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，椭圆上一点到两焦点距离之和为 44.
(1) 求椭圆方程； (2) 设 O=(0,0)O=(0,0)，M(x0,y0)M(x_0,y_0)（x0≠0x_0\ne0）为椭圆上一点，直线 x0x+2y0y−4=0x_0x+2y_0y-4=0 与直线 y=2y=2，y=−2y=-2 交于 AA，BB. S1S_1，S2S_2 分别为 △OAM\triangle OAM 与 △OBM\triangle OBM 的面积，比较 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 与 ∣OA∣∣OB∣\dfrac{|OA|}{|OB|} 的大小.

2025 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，PP 为 x=ax=a 上一点，且直线 PFPF 的斜率为 13\frac13，△PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac32，离心率为 12\frac12.
(1) 求椭圆方程； (2) 过 PP 的直线与椭圆有唯一交点 BB（异于 AA），证明 PFPF 平分 ∠AFB\angle AFB.

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 Γ:x2a2+y25=1\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1（a>5a>\sqrt5），M(0,m)M(0,m)（m>0m>0），AA 为 Γ\Gamma 的右顶点.
(1) 若 Γ\Gamma 的焦点为 (2,0)(2,0)，求离心率 ee； (2) 若 a=4a=4，且 Γ\Gamma 上存在一点 PP 满足 PA→=2MP→\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}，求 mm； (3) 若线段 AMAM 的中垂线 ll 的斜率为2， ll 与 Γ\Gamma 交于 CC，DD，且 ∠CMD\angle CMD 为钝角，求 aa 的取值范围.

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1615分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3)，P(3,32)P\left(3,\frac32\right) 都在椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 上.
(1) 求 CC 的离心率； (2) 过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，且 △ABP\triangle ABP 的面积为 99，求 ll 的方程.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left( 1,\dfrac{3}{2} \right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ=ρcos⁡θ+1\rho=\rho\cos\theta+1.
(1) 写出 CC 的直角坐标方程； (2) 设直线 ll 的参数方程为
{x=t,y=t+a,\begin{cases} x=t,\\ y=t+a, \end{cases}
（tt 为参数），若 CC 与 ll 相交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=2|AB|=2，求 aa 的值.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，点 M(1,32)M\left(1,\dfrac32\right) 在 CC 上，且 MF⊥xMF\perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 P(4,0)P(4,0) 的直线交 CC 于 AA，BB 两点，NN 为线段 FPFP 的中点，直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ，证明：AQ⊥yAQ\perp y 轴.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），以椭圆 EE 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正方形. 过点 (0,t)(0,t)（t>2t>\sqrt{2}）且斜率存在的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 AA，BB，过点 AA 和 C(0,1)C(0,1) 的直线 ACAC 与椭圆 EE 的另一个交点为 DD.
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率； (2) 若直线 BDBD 的斜率为 0，求 tt 的值.

2024 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

2024 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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2115分解析几何★★★★☆
已知双曲线 CC 的中心为坐标原点，左焦点为 (−25,0)(-2\sqrt5,0)，离心率为 5\sqrt5.
(1) 求 CC 的方程； (2) 记 CC 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 (−4,0)(-4,0) 的直线与 CC 的左支交于 MM，NN 两点，MM 在第二象限，直线 MA1MA_1 与 NA2NA_2 交于点 PP，证明：点 PP 在定直线上.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）交于 AA，BB 两点，且 ∣AB∣=415\lvert AB \rvert=4\sqrt{15}.
(1) 求 pp； (2) 设 FF 为 CC 的焦点，MM，NN 为 CC 上两点，FM→⋅FN→=0\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0，求 △MFN\triangle MFN 面积的最小值.

2023 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知直线 x−2y+1=0x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0） 交于 AA，BB 两点，∣AB∣=415|AB|=4\sqrt{15}.
(1) 求 pp； (2) 设 FF 为 CC 的焦点，MM，NN 为 CC 上两点，且 FM→⋅FN→=0\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=0，求 △MFN\triangle MFN 面积的最小值.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 y2a2+x2b2=1\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），其离心率是 53\frac{\sqrt5}{3}，点 A(−2,0)A(-2,0) 在 CC 上.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 与 yy 轴的交点分别为 MM，NN，证明：线段 MNMN 的中点为定点.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，点 A(−2,0)A(-2,0) 在 CC 上.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 与 yy 轴的交点分别为 MM，NN，证明：线段 MNMN 的中点为定点.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的半焦距为 cc，则 c2=a2−b2c^2=a^2-b^2. 由点 A(−2,0)A(-2,0) 在椭圆上，得 b=2b=2. 又由离心率得 c2a2=59\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac59，所以 1−4a2=591-\dfrac{4}{a^2}=\dfrac59，从而 a=3a=3. 因此 CC 的方程为 y29+x24=1\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1. \item 过点 (−2,3)(-2,3) 的直线若为 x=−2x=-2，则与椭圆只有一个交点，故由题意可设该直线斜率为 kk，其方程为 y=k(x+2)+3y=k(x+2)+3. 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)，则 x1x_1，x2x_2 是方程
9x2+4(k(x+2)+3)2=369x^2+4\bigl(k(x+2)+3\bigr)^2=36
的两个根，即
(9+4k2)x2+8k(2k+3)x+4(2k+3)2−36=0(9+4k^2)x^2+8k(2k+3)x+4(2k+3)^2-36=0
由韦达定理， x1+x2=−8k(2k+3)9+4k2x_1+x_2=-\frac{8k(2k+3)}{9+4k^2}，x1x2=16k(k+3)9+4k2x_1x_2=\frac{16k(k+3)}{9+4k^2}. 直线 APAP 与 yy 轴的交点纵坐标为 2y1x1+2\dfrac{2y_1}{x_1+2}，而 y1=k(x1+2)+3y_1=k(x_1+2)+3，所以该纵坐标为 2k+6x1+22k+\dfrac{6}{x_1+2}. 同理，点 NN 的纵坐标为 2k+6x2+22k+\dfrac{6}{x_2+2}. 因而线段 MNMN 的中点横坐标为 00，纵坐标为
2k+3(1x1+2+1x2+2)=2k+3x1+x2+4x1x2+2(x1+x2)+42k+3\left(\frac1{x_1+2}+\frac1{x_2+2}\right)=2k+3\frac{x_1+x_2+4}{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}
由上式中的韦达关系， x1+x2+4=12(3−2k)9+4k2x_1+x_2+4=\frac{12(3-2k)}{9+4k^2}，x1x2+2(x1+x2)+4=369+4k2x_1x_2+2(x_1+x_2)+4=\frac{36}{9+4k^2}， 故中点纵坐标为 2k+3⋅3−2k3=32k+3\cdot\dfrac{3-2k}{3}=3. 所以线段 MNMN 的中点为定点 (0,3)(0,3). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1C_1 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho=2\sin\theta（π4≤θ≤π2\frac\pi4\le\theta\le\frac\pi2），曲线
C2:{x=2cos⁡α,y=2sin⁡αC_2:\begin{cases} x=2\cos\alpha,\\ y=2\sin\alpha \end{cases}
（α\alpha 为参数，π2<α<π\frac\pi2<\alpha<\pi）.
(1) 写出 C1C_1 的直角坐标方程； (2) 若直线 y=x+my=x+m 与 C1C_1，C2C_2 均无公共点，求 mm 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由极坐标与直角坐标的关系 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta，y=ρsin⁡θy=\rho\sin\theta，得 ρ2=2ρsin⁡θ=2y\rho^2=2\rho\sin\theta=2y，所以 x2+y2=2yx^2+y^2=2y，即 x2+(y−1)2=1x^2+(y-1)^2=1. 由 π4≤θ≤π2\dfrac\pi4\le\theta\le\dfrac\pi2，可知该曲线取第一象限内从 (1,1)(1,1) 到 (0,2)(0,2) 的圆弧，故还需满足 x∈[0,1]x\in[0,1]，y∈[1,2]y\in[1,2]. \item 直线 y=x+my=x+m 与曲线有公共点，当且仅当 m=y−xm=y-x. 对 C1C_1，令 x=2sin⁡θcos⁡θx=2\sin\theta\cos\theta，y=2sin⁡2θy=2\sin^2\theta，故 m=y−x=2sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ=1−cos⁡2θ−sin⁡2θm=y-x=2\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta=1-\cos2\theta-\sin2\theta，其中 θ∈[π4,π2]\theta\in\left[\dfrac\pi4,\dfrac\pi2\right]. 其导数为 m′(θ)=2sin⁡2θ−2cos⁡2θ>0m'(\theta)=2\sin2\theta-2\cos2\theta>0，且 m(π4)=0m\left(\dfrac\pi4\right)=0，m(π2)=2m\left(\dfrac\pi2\right)=2，所以 mm 的取值范围为 [0,2][0,2].
对 C2C_2，有 m=2sin⁡α−2cos⁡α=2(sin⁡α−cos⁡α)m=2\sin\alpha-2\cos\alpha=2(\sin\alpha-\cos\alpha)，其中 α∈(π2,π)\alpha\in\left(\dfrac\pi2,\pi\right). 因为 m′=2(sin⁡α+cos⁡α)m'=2(\sin\alpha+\cos\alpha)，所以 mm 在 α=3π4\alpha=\dfrac{3\pi}{4} 处取得最大值 222\sqrt2；又当 α→π2+\alpha\to\dfrac\pi2^+ 或 α→π−\alpha\to\pi^- 时，m→2m\to2，但 α\alpha 不取端点，故 mm 的取值范围为 (2,22](2,2\sqrt2].
因此直线同时与 C1C_1，C2C_2 无公共点时，mm 不属于 [0,2]∪(2,22]=[0,22][0,2]\cup(2,2\sqrt2]=[0,2\sqrt2]，即 m∈(−∞,0)∪(22,+∞)m\in(-\infty,0)\cup(2\sqrt2,+\infty). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的离心率为 53\dfrac{\sqrt{5}}{3}，AA，CC 分别是 EE 的上，下顶点，BB，DD 分别是 EE 的左，右顶点，∣AC∣=4|AC|=4.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设 PP 为第一象限内 EE 上的动点，直线 PDPD 与直线 BCBC 交于点 MM，直线 PAPA 与直线 y=−2y=-2 交于点 NN. 求证：MN∥CDMN\parallel CD.

2023 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，右焦点为 FF，已知 ∣A1F∣=3|A_1F|=3，∣A2F∣=1|A_2F|=1.
(1) 求椭圆方程及其离心率； (2) 已知点 PP 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 A2PA_2P 交 yy 轴于点 QQ，若三角形 A1PQA_1PQ 的面积是三角形 A2FPA_2FP 面积的二倍，求直线 A2PA_2P 的方程.

2023 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知抛物线 Γ:y2=4x\Gamma:y^2=4x，第一象限内点 AA 在 Γ\Gamma 上，AA 的纵坐标是 aa.
(1) 若 AA 到准线的距离为 33，求 aa； (2) 若 a=4a=4，BB 在 xx 轴上，且线段 ABAB 的中点在 Γ\Gamma 上，求点 BB 的坐标及坐标原点 OO 到直线 ABAB 的距离； (3) 直线 l:x=−3l:x=-3，令 PP 是第一象限 Γ\Gamma 上异于 A 的一点，直线 APAP 交 ll 于 QQ，HH 是 PP 在 ll 上的投影，若点 A 满足“对于任意 PP 都有 ∣HQ∣>4\left|HQ\right|>4”，求 aa 的取值范围.

2023 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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2115分解析几何★★★★☆
已知点 A(2,1)A(2,1) 在双曲线 C: x2a2−y2a2−1=1C:\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2-1}=1（a>1a>1） 上，直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 的斜率之和为 00.
(1) 求 ll 的斜率； (2) 若 tan⁡∠PAQ=22\tan \angle PAQ=2\sqrt2，求 △PAQ\triangle PAQ 的面积.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，对称轴为 xx 轴，yy 轴，且过 A(0,−2)A(0,-2)，B(32,−1)B\left( \frac{3}{2},-1 \right) 两点.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设过点 P(1,−2)P(1,-2) 的直线交 EE 于 MM，NN 两点，过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT，点 HH 满足 MT=THMT=TH. 证明：直线 HNHN 过定点.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，对称轴为 xx 轴，yy 轴，且过 A(0,−2)A(0,-2)，B(32,−1)B\left(\dfrac32,-1\right) 两点.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设过点 P(1,−2)P(1,-2) 的直线交 EE 于 MM，NN 两点，过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT，点 HH 满足 MT=THMT=TH. 证明：直线 HNHN 过定点.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,1)A(0,1)，焦距为 232\sqrt3.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(−2,1)P(-2,1) 作斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与 xx 轴交于点 MM，NN. 当 ∣MN∣=2|MN|=2 时，求 kk 的值.

2022 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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