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116分解析几何★★★★☆
已知圆 C1:(x+1)2+y2=1C_1:(x+1)^2+y^2=1，圆 C2:(x−1)2+y2=1C_2:(x-1)^2+y^2=1，圆 C3:x2+(y−3)2=1C_3:x^2+\left( y-\sqrt{3} \right)^2=1，直线 l:y=kx+bl:y=kx+b 与 C1C_1，C2C_2，C3C_3 均有两个交点，记 ll 被 C1C_1，C2C_2，C3C_3 截得弦长分别为 s1s_1，s2s_2，s3s_3，则（ ）
A.
kk 可以取任意实数
B.
满足 s1=s2=s3s_1=s_2=s_3 的直线 ll 共有 33 条
C.
满足 s1+s2+s3=3s_1+s_2+s_3=3 的直线 ll 多于 33 条
D.
当 b=0b=0 时，s1+s2+s3s_1+s_2+s_3 的最大值为 2213\dfrac{2\sqrt{21}}{3}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 11 题 · 多选题

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116分解析几何★★★★☆
已知抛物线 E:y2=8xE:y^2=8x，斜率为 kk（k>0k>0）的直线 ll 经过点 (−1,0)\left( -1,0 \right)，等边三角形 ABCABC 的顶点 AA 在 EE 上，顶点 BB，CC 均在 ll 上. 下列结论正确的有（ ）
A.
EE 的准线方程为 x=−2x=-2
B.
若 ll 与 EE 没有公共点，则 k>2k>\sqrt{2}
C.
若 ll 与 EE 的唯一公共点为 BB，则 EE 的焦点在直线 ABAB 上
D.
若 k=2k=2，则 △ABC\triangle ABC 面积的最小值为 315\frac{\sqrt{3}}{15}

2026 · 全国 · 二卷 · 第 11 题 · 多选题

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09解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左焦点为 FF，AA 是右顶点，PP 是双曲线上一点，满足 ∣FA∣=∣FP∣|FA|=|FP|，∠FAP=30∘\angle FAP=30^\circ，则双曲线离心率为（ ）
A.
44
B.
83\frac{8}{3}
C.
85\frac{8}{5}
D.
43\frac{4}{3}

2026 · 天津 · 第 9 题 · 选择题

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15解析几何★★★★☆
在平面内，OO 为坐标原点，抛物线 y2=2xy^2=2x 上有 AA，BB，CC，DD 四个点，AA，BB，CC，DD 的纵坐标分别为 yAy_A，yBy_B，yCy_C，yDy_D，直线 ABAB 与直线 CDCD 交 xx 轴于点 PP，直线 ACAC 交 xx 轴于点 MM，直线 BDBD 交 xx 轴于点 NN，以下说法正确的有______.
① 若 PP 与抛物线焦点重合，则 yAyB=−2y_Ay_B=-2； ② yAyB=yCyDy_Ay_B=y_Cy_D； ③ ∣OM∣∣ON∣=2∣OP∣2|OM||ON|=2|OP|^2； ④ ∣yA−yC∣∣OP∣=∣yB−yD∣∣OM∣\left| y_A-y_C \right||OP|=\left| y_B-y_D \right||OM|； ⑤ S△ACPS△BDP=(∣OM∣∣ON∣)2\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle BDP}}=\left( \frac{|OM|}{|ON|} \right)^2

2026 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx=b 截得的线段长为 3\sqrt{3}.
(1) 求 CC 的标准方程； (2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2+y^2=b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)（y1<y2y_1<y_2），AA 是椭圆的上顶点. 记直线 APAP，AQAQ 的斜率分别为 k1k_1，k2k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}.

2026 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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12解析几何★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，AC=5AC=5，BC=14BC=\sqrt{14}. 已知点 AA，BB，CC 分别为椭圆 44 个顶点和 22 个焦点中的三点，则该椭圆的离心率为______.

2026 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 Γ1:x2a2+y2=1\Gamma_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1） 与椭圆 Γ2:x2b2+2+y2b2=1\Gamma_2:\dfrac{x^2}{b^2+2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 相交于 AA，BB，CC，DD 四点，且 Γ1\Gamma_1 和 Γ2\Gamma_2 的四个焦点在同一个圆上，则 b2=‾b^2=\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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20解析几何★★★★☆
已知双曲线 Γ:x22−y22=1\Gamma:\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{2}=1，过点 M(m,0)M(m,0) 作不垂直于 xx 轴的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 AA，BB 两点.
(1) 求双曲线 Γ\Gamma 的离心率； (2) 若点 A(3,1)A(\sqrt3,1)，点 BB 在双曲线的右支上，且 BB 是 AMAM 的中点，求直线 ll 的斜率； (3) 若 m>0m>0，F1F_1，F2F_2 分别是双曲线 Γ\Gamma 的左右焦点，A′A' 是 A 关于 yy 轴的对称点，若存在直线 ll 使得 F1A′→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1A'}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，求 mm 的取值范围.

2026 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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