设 $n \geqslant 2$，$n \in \mathbf{N}$，$\left(2x + \frac{1}{2}\right)^n - \left(3x + \frac{1}{3}\right)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$，将 $|a_k|$（$0 \leqslant k \leqslant n$）的最小值记为 $T_n$，则 $T_2 = 0$，$T_3 = \frac{1}{2^3} - \frac{1}{3^3}$，$T_4 = 0$，$T_5 = \frac{1}{2^5} - \frac{1}{3^5}$，$\cdots$，$T_n$，$\cdots$，其中 $T_n =$______. \begin{answer} \end{answer}

\begin{solution} 由二项式定理，$x^k$ 的系数为 若 $n$ 为偶数，取 $k=\frac n2$，则 $a_k=\mathrm C_n^{\frac{n}{2}}(1-1)=0$，故 $T_n=0$.

若 $n$ 为奇数，当 $0\leqslant k\leqslant\frac{n-1}{2}$ 时，令 $r=n-2k$，则 $1\leqslant r\leqslant n$，并且 并且 （$r\geqslant1$），所以数列 $\frac1{2^r}-\frac1{3^r}$ 随正整数 $r$ 增大而减小，其值不小于 $\frac1{2^n}-\frac1{3^n}$，再乘以 $\mathrm C_n^k\geqslant1$ 后仍不小于该值.

当 $\frac{n+1}{2}\leqslant k\leqslant n$ 时，令 $r=2k-n\geqslant1$，则 而 $k=0$ 时恰好有 $|a_0|=\frac1{2^n}-\frac1{3^n}$. 因此 \end{solution}

有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”，“立定跳远”，“肺活量”，“握力”，“台阶”五个项目的测试. 每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有______ 种. \begin{answer} 264 \end{answer}

\begin{solution} 上午固定测试除“握力”外的四个项目，先把四位有区别的同学安排到上午，方法数为 $4!$. 固定一种上午安排，记上午测试“台阶”的同学为甲，另外三位同学的上午项目分别为三个公共项目.

下午测试三个公共项目和“握力”，且不能与本人上午项目重复. 若“握力”安排给甲，则三个公共项目需避开三位同学各自的项目，安排数为三阶错排数 $!3=2$. 若“握力”安排给另外三位同学中的一位，有 $3$ 种选法；剩下的三人分配三个公共项目，其中两人各有一个禁用项目，容斥计数为 所以固定上午安排时，下午有 种安排. 总安排数为 故填 $264$. \end{solution}

用 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$ 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 $1$ 和 $2$ 相邻，这样的六位数的个数是______. （用数字作答）

函数 $f: \{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\}$ 满足 $f(f(x)) = f(x)$，则这样的函数个数共有（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 设值域中的元素集合为 $S=f(\{1,2,3\})$. 对任意 $y\in S$，存在 $x$ 使 $y=f(x)$，于是由题设 $f(y)=f(f(x))=f(x)=y$，所以 $S$ 中每个元素都是不动点. 反过来，只要规定 $S$ 中元素各自映射到自身，并把其余元素任意映射到 $S$，就一定满足 $f(f(x))=f(x)$. 因而 $S$ 非空.

若 $|S|=k$，先从 3 个元素中选出 $S$，有 $\mathrm C_3^k$ 种；对剩余的 $3-k$ 个元素，每个都有 $k$ 种像，故有 $k^{3-k}$ 种. 所以函数总数为 因此选 D. \end{solution}

从集合 $\{O, P, Q, R, S\}$ 与 $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 中各任取 $2$ 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）. 每排中字母 $O$，$Q$ 和数字 $0$ 至多只能出现一个的不同排法种数是______. （用数字作答）

\begin{answer} $8424$ \end{answer}

\begin{solution} 先任取两个字母、两个数字，再将四个元素排列，总排法数为 不合条件的排法分三类且互不相交： \begin{enumerate} \item 同时选中字母 $O$，$Q$. 两个数字任取，有 $\mathrm C_{10}^2$ 种选法，排法数为 $\mathrm C_{10}^2 4!=1080$； \item 选中 $O$ 和数字 $0$，但未选中 $Q$. 另一个字母有 $3$ 种，另一个数字有 $9$ 种，排法数为 $3\times9\times4!=648$； \item 选中 $Q$ 和数字 $0$，但未选中 $O$. 同理，排法数为 $3\times9\times4!=648$. \end{enumerate} 因此符合条件的排法数为 \end{solution}