某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为 $29^{\circ} \mathrm{C} \sim 63^{\circ} \mathrm{C}$，精确度要求 $\pm 1^{\circ} \mathrm{C}$. 用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为______.

对于 $n \in \mathbf{N}^*$，将 $n$ 表示为 $n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0$. 当 $i = 0$ 时，$a_i = 1$，当 $1 \leqslant i \leqslant k$ 时，$a_i$ 为 0 或 1. 记 $I(n)$ 为上述表示中 $a_i$ 为 0 的个数 （例如： $1 = 1 \times 2^0$，$4 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0$，则 $I(1) = 0$，$I(4) = 2$），则

(1) $I(12) =$______； (2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=$______.

将杨辉三角中的奇数换成 $1$，偶数换成 $0$，得到如图所示的 $0$-$1$ 三角数表. 从上往下数，第 $1$ 次全行的数都为 $1$ 的是第 $1$ 行，第 $2$ 次全行的数都为 $1$ 的是第 $3$ 行，…，第 $n$ 次全行的数都为 $1$ 的是第______ 行；第 $61$ 行中 $1$ 的个数是______.

| 第 $1$ 行 | $1$ | $1$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 第 $2$ 行 | $1$ | $0$ | $1$ | | 第 $3$ 行 | $1$ | $1$ | $1$ | $1$ | | 第 $4$ 行 | $1$ | $0$ | $0$ | $0$ | $1$ | | 第 $5$ 行 | $1$ | $1$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ |

在 $(1 + x)^n$（$n \in \mathbf{N}^*$）的二项展开式中，只有其 $x^5$ 的系数最大，则 $n =$（ ）

$4$ 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 $100$ 分，答错得 $-100$ 分；选乙题答对得 $90$ 分，答错得 $-90$ 分；若 $4$ 位同学的总分为 $0$，则这 $4$ 位同学不同得分情况的种数是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设四位同学中选甲题答对、答错的人数分别为 $p$，$q$，选乙题答对、答错的人数分别为 $r$，$s$. 则 $p+q+r+s=4$，$100(p-q)+90(r-s)=0$. 第二个等式化为 $10(p-q)+9(r-s)=0$. 由于 $\lvert p-q\rvert\leqslant4$、$\lvert r-s\rvert\leqslant4$，且 $9$ 与 $10$ 互质，只能有 $p-q=0$、$r-s=0$. 因而 $p=q$、$r=s$，并且 $p+r=2$.

当 $(p,r)=(0,2)$ 或 $(2,0)$ 时，各有 $\mathrm C_4^2=6$ 种；当 $(p,r)=(1,1)$ 时，四类得分各出现一次，有 $4!=24$ 种. 所以不同得分情况共有 $6+24+6=36$ 种，故选 B. \end{solution}