若集合 $\{a, b, c, d\} = \{1, 2, 3, 4\}$，且下列四个关系：

① $a = 1$； ② $b \neq 1$； ③ $c = 2$； ④ $d \neq 4$.

有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 $(a, b, c, d)$ 的个数是______.

当 $x \in \mathbf{R}$，$|x| < 1$ 时，有如下表达式： $1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}$. 两边同时积分得： $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}\,\text{d}x + \cdots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n}\,\text{d}x + \cdots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x}\,\text{d}x$， 从而得到如下等式： $1 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \cdots = \ln 2$. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： $\mathrm C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathrm C_{n}^{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \mathrm C_{n}^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \mathrm C_{n}^{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\underline{\hspace{2em}}$.