有 $6\text{ 个}$ 相同的球，分别标有数字 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，从中不放回地随机抽取 $3\text{ 次}$，每次取 $1\text{ 个}$ 球. 记 $m$ 为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 差的绝对值不超过 $\dfrac{1}{2}$ 的概率是______.

$0$-$1$ 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 $a_1a_2\cdots a_n\cdots$ 满足 $a_i\in\{0,1\}$（$i=1$，$2$，$\cdots$），且存在正整数 $m$，使得 $a_{i+m}=a_i$（$i=1$，$2$，$\cdots$）成立，则称其为 $0$-$1$ 周期序列，并称满足 $a_{i+m}=a_i$（$i=1$，$2$，$\cdots$）的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期. 对于周期为 $m$ 的 $0$-$1$ 序列 $a_1a_2\cdots a_n\cdots$，$C(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}$（$k=1$，$2$，$\cdots$，$m-1$）是描述其性质的重要指标，下列周期为 $5$ 的 $0$-$1$ 序列中，满足 $C(k)\leq \dfrac{1}{5}$（$k=1$，$2$，$3$，$4$）的序列是（ ）

已知各项全不为零的数列 $\{a_{k}\}$ 的前 $k$ 项和为 $S_{k}$，且 $S_{k} = \frac{1}{2} a_{k} a_{k + 1}$（$k \in \mathbf{N}^*$），其中 $a_{1} = 1$.

(1) 求数列 $\{a_{k}\}$ 的通项公式； (2) 对任意给定的正整数 $n$（$n \geqslant 2$），数列 $\{b_k\}$ 满足 $\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{k-n}{a_{k+1}}$ （$k = 1$，$2$，$\cdots$，$n-1$），$b_1 = 1$. 求 $b_1 + b_2 + \cdots + b_n$.