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16概率与统计★★★★☆
有 6 个6\text{ 个} 相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中不放回地随机抽取 3 次3\text{ 次}，每次取 1 个1\text{ 个} 球. 记 mm 为前两次取出的球上数字的平均值，nn 为取出的三个球上数字的平均值，则 mm 与 nn 差的绝对值不超过 12\dfrac{1}{2} 的概率是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
已知某集合中的元素是不重复的数字组成的三位正整数，若该集合中任意两个数的积均为偶数，则该集合的元素个数的最大值为______.

2024 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
a1=2a_1=2，a2=4a_2=4，a3=8a_3=8，a4=16a_4=16，任意 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4∈Rb_4\in \mathbf{R}，满足 {ai+aj∣1≤i<j≤4}={bi+bj∣1≤i<j≤4}\{a_i+a_j\mid 1\le i<j\le 4\}=\{b_i+b_j\mid 1\le i<j\le 4\}，求有序数列 {b1,b2,b3,b4}\{b_1,b_2,b_3,b_4\} 有______ 对.

2024 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
设 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a6a_6 为 11，22，33，44，55，66 的一个排列，则满足 ∣a1−a2∣+∣a3−a4∣+∣a5−a6∣=3\lvert a_1-a_2\rvert+\lvert a_3-a_4\rvert+\lvert a_5-a_6\rvert=3 的不同排列的个数为______.

2017 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
顾客请一位工艺师把 AA，BB 两件玉石原料各制成一件工艺品. 工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间 （单位：工作日） 如下：
则最短交货期为______个工作日\text{个工作日}.

2014 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
若集合 {a,b,c,d}={1,2,3,4}\{a, b, c, d\} = \{1, 2, 3, 4\}，且下列四个关系：
① a=1a = 1； ② b≠1b \neq 1； ③ c=2c = 2； ④ d≠4d \neq 4.
有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 (a,b,c,d)(a, b, c, d) 的个数是______.

2014 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
当 x∈Rx \in \mathbf{R}，∣x∣<1|x| < 1 时，有如下表达式： 1+x+x2+⋯+xn+⋯=11−x1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} + \cdots = \frac{1}{1-x}. 两边同时积分得： ∫0121 dx+∫012x dx+∫012x2 dx+⋯+∫012xn dx+⋯=∫01211−x dx\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\,\text{d}x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2}\,\text{d}x + \cdots + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{n}\,\text{d}x + \cdots = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x}\,\text{d}x， 从而得到如下等式： 1×12+12×(12)2+13×(12)3+⋯+1n+1×(12)n+1+⋯=ln⁡21 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} + \cdots = \ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： Cn0×12+12Cn1×(12)2+13Cn2×(12)3+⋯+1n+1Cnn×(12)n+1=‾\mathrm C_{n}^{0} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \mathrm C_{n}^{1} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{1}{3} \mathrm C_{n}^{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \cdots + \frac{1}{n+1} \mathrm C_{n}^{n} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为 29∘C∼63∘C29^{\circ} \mathrm{C} \sim 63^{\circ} \mathrm{C}，精确度要求 ±1∘C\pm 1^{\circ} \mathrm{C}. 用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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15概率与统计★★★★☆
某艺校在一天的 66 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 11 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 11 节艺术课的概率为______.
\begin{answer} 35\frac{3}{5} \end{answer}
\begin{solution} 只考虑文化课和艺术课的类别排列即可. 三节文化课的位置从六个位置中选取，基本事件总数为
C63=20\mathrm C_{6}^{3}=20
设三节文化课之间的三段艺术课数分别为 g1g_{1}，g2g_{2}，并令两端的艺术课数为 g0g_{0}，g3g_{3}. 则 g0+g1+g2+g3=3g_{0}+g_{1}+g_{2}+g_{3}=3，g1g_{1}，g2∈{0,1}g_{2}\in\{0,1\}. 当 (g1,g2)=(0,0)(g_{1},g_{2})=(0,0) 时有 44 种；当恰有一个为 11 时有 3+3=63+3=6 种；当 (g1,g2)=(1,1)(g_{1},g_{2})=(1,1) 时有 22 种. 所以符合条件的排列有 4+6+2=124+6+2=12 种，所求概率为
1220=35\frac{12}{20}=\frac35
\end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
设 A(0,0)A(0,0)，B(4,0)B(4,0)，C(t+4,3)C(t + 4,3)，D(t,3)D(t,3)（t∈Rt \in \mathbf{R}）. 记 N(t)N(t) 为平行四边形 ABCDABCD 内部（不含边界）的整点的个数. 其中整点是指横，纵坐标都是整数的点，则 N(0)=N(0) =______；N(t)N(t) 的所有可能取值为______.

2011 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋯+ak−1×21+ak×20n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0. 当 i=0i = 0 时，ai=1a_i = 1，当 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k 时，aia_i 为 0 或 1. 记 I(n)I(n) 为上述表示中 aia_i 为 0 的个数 （例如： 1=1×201 = 1 \times 2^0，4=1×22+0×21+0×204 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0，则 I(1)=0I(1) = 0，I(4)=2I(4) = 2），则
(1) I(12)=I(12) =______； (2) ∑n=11272I(n)=\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
从集合 U={a,b,c,d}U = \{a, b, c, d\} 的子集中选出 4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
① ∅\varnothing，UU 都要选出； ② 对选出的任意两个子集 AA 和 BB，必有 A⊆BA \subseteq B 或 A⊇BA \supseteq B.
那么，共有______ 种不同的选法.

2010 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
设 n⩾2n \geqslant 2，n∈Nn \in \mathbf{N}，(2x+12)n−(3x+13)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn\left(2x + \frac{1}{2}\right)^n - \left(3x + \frac{1}{3}\right)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n，将 ∣ak∣|a_k|（0⩽k⩽n0 \leqslant k \leqslant n）的最小值记为 TnT_n，则 T2=0T_2 = 0，T3=123−133T_3 = \frac{1}{2^3} - \frac{1}{3^3}，T4=0T_4 = 0，T5=125−135T_5 = \frac{1}{2^5} - \frac{1}{3^5}，⋯\cdots，TnT_n，⋯\cdots，其中 Tn=T_n =______. \begin{answer}
{0,n为偶数,12n−13n,n为奇数\begin{cases} 0, & n\text{为偶数},\\ \dfrac{1}{2^n}-\dfrac{1}{3^n}, & n\text{为奇数} \end{cases}
\end{answer}
\begin{solution} 由二项式定理，xkx^k 的系数为
ak=Cnk(22k−n−32k−n)a_k=\mathrm C_n^k\left(2^{2k-n}-3^{2k-n}\right)
若 nn 为偶数，取 k=n2k=\frac n2，则 ak=Cnn2(1−1)=0a_k=\mathrm C_n^{\frac{n}{2}}(1-1)=0，故 Tn=0T_n=0.
若 nn 为奇数，当 0⩽k⩽n−120\leqslant k\leqslant\frac{n-1}{2} 时，令 r=n−2kr=n-2k，则 1⩽r⩽n1\leqslant r\leqslant n，并且
∣ak∣=Cnk(12r−13r)|a_k|=\mathrm C_n^k\left(\frac1{2^r}-\frac1{3^r}\right)
并且
(12r−13r)−(12r+1−13r+1)=12r+1−23r+1>0\left(\frac1{2^r}-\frac1{3^r}\right) -\left(\frac1{2^{r+1}}-\frac1{3^{r+1}}\right) =\frac1{2^{r+1}}-\frac2{3^{r+1}}>0
（r⩾1r\geqslant1），所以数列 12r−13r\frac1{2^r}-\frac1{3^r} 随正整数 rr 增大而减小，其值不小于 12n−13n\frac1{2^n}-\frac1{3^n}，再乘以 Cnk⩾1\mathrm C_n^k\geqslant1 后仍不小于该值.
当 n+12⩽k⩽n\frac{n+1}{2}\leqslant k\leqslant n 时，令 r=2k−n⩾1r=2k-n\geqslant1，则
∣ak∣=Cnk(3r−2r)⩾1>12n−13n|a_k|=\mathrm C_n^k(3^r-2^r)\geqslant1>\frac1{2^n}-\frac1{3^n}
而 k=0k=0 时恰好有 ∣a0∣=12n−13n|a_0|=\frac1{2^n}-\frac1{3^n}. 因此
Tn={0,n为偶数,12n−13n,n为奇数.T_n=\begin{cases} 0, & n\text{为偶数},\\ \dfrac1{2^n}-\dfrac1{3^n}, & n\text{为奇数}. \end{cases}
\end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★★☆
有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”，“立定跳远”，“肺活量”，“握力”，“台阶”五个项目的测试. 每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有______ 种. \begin{answer} 264 \end{answer}
\begin{solution} 上午固定测试除“握力”外的四个项目，先把四位有区别的同学安排到上午，方法数为 4!4!. 固定一种上午安排，记上午测试“台阶”的同学为甲，另外三位同学的上午项目分别为三个公共项目.
下午测试三个公共项目和“握力”，且不能与本人上午项目重复. 若“握力”安排给甲，则三个公共项目需避开三位同学各自的项目，安排数为三阶错排数 !3=2!3=2. 若“握力”安排给另外三位同学中的一位，有 33 种选法；剩下的三人分配三个公共项目，其中两人各有一个禁用项目，容斥计数为
3!−2⋅2!+1!=33!-2\cdot2!+1!=3
所以固定上午安排时，下午有
2+3×3=112+3\times3=11
种安排. 总安排数为
4!×11=2644!\times11=264
故填 264264. \end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 17 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
有 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行. 如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的排法共有______种.（用数字作答）

2008 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
古代“五行”学说认为：“物质分金，木，土，水，火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.” 将五种不同属性的物质任意排成一列，设事件 AA 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件 AA 出现的概率是（结果用数值表示）______.

2008 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★★☆
用 11，22，33，44，55，66 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 11 和 22 相邻，这样的六位数的个数是______. （用数字作答）

2008 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
某人有 33 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的 66 个点 AA、BB、CC、A1A_1、B1B_1、C1C_1 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，
则不同的安装方法共有______ 种. （用数字作答）

2008 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
将数字 11，22，33，44，55，66 拼成一列，记第 ii 个数为 aia_i （i=1,2,…,6i = 1, 2, \ldots, 6）. 若 a1≠1a_1 \neq 1，a3≠3a_3 \neq 3，a5≠5a_5 \neq 5，a1<a3<a5a_1 < a_3 < a_5，则不同的排列方法有______种.（用数字作答）

2007 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
将杨辉三角中的奇数换成 11，偶数换成 00，得到如图所示的 00-11 三角数表. 从上往下数，第 11 次全行的数都为 11 的是第 11 行，第 22 次全行的数都为 11 的是第 33 行，…，第 nn 次全行的数都为 11 的是第______ 行；第 6161 行中 11 的个数是______.
| 第 11 行 | 11 | 11 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 第 22 行 | 11 | 00 | 11 | | 第 33 行 | 11 | 11 | 11 | 11 | | 第 44 行 | 11 | 00 | 00 | 00 | 11 | | 第 55 行 | 11 | 11 | 00 | 00 | 11 | 11 |

2007 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
如果一个凸多面体是 nn 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有______ 条. 这些直线中共有 f(n)f(n) 对异面直线，则 f(4)=‾f(4) =\underline{\hspace{2em}}； f(n)=‾f(n) =\underline{\hspace{2em}}（答案用数字或 nn 的解析式表示）

2007 · 广东 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
从集合 {O,P,Q,R,S}\{O, P, Q, R, S\} 与 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} 中各任取 22 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）. 每排中字母 OO，QQ 和数字 00 至多只能出现一个的不同排法种数是______. （用数字作答）
\begin{answer} 84248424 \end{answer}
\begin{solution} 先任取两个字母、两个数字，再将四个元素排列，总排法数为
C52C1024!=10×45×24=10800\mathrm C_5^2\mathrm C_{10}^2 4!=10\times45\times24=10800
不合条件的排法分三类且互不相交： \begin{enumerate} \item 同时选中字母 OO，QQ. 两个数字任取，有 C102\mathrm C_{10}^2 种选法，排法数为 C1024!=1080\mathrm C_{10}^2 4!=1080； \item 选中 OO 和数字 00，但未选中 QQ. 另一个字母有 33 种，另一个数字有 99 种，排法数为 3×9×4!=6483\times9\times4!=648； \item 选中 QQ 和数字 00，但未选中 OO. 同理，排法数为 3×9×4!=6483\times9\times4!=648. \end{enumerate} 因此符合条件的排法数为
10800−(1080+648+648)=842410800-(1080+648+648)=8424
\end{solution}

2005 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
(x2+1x+2)5\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2}\right)^5 的展开式中整理后的常数项为______.

2005 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种.

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
如图，一个地区分为 55 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 44 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种.
\begin{solution} 先给中心区域 11 着色，有 44 种方法. 中心区域确定后，外围区域 22，33，44，55 只能使用其余 33 种颜色，且按环状相邻的区域不能同色.
若区域 22 与区域 44 同色，则共有 33 种选择该共同颜色的方法；区域 33 和区域 55 都可分别从剩余的 22 种颜色中选择，因此有 3×2×2=123\times2\times2=12 种. 若区域 22 与区域 44 异色，则先选区域 22 和区域 44 有 3×23\times2 种方法，此时区域 33 和区域 55 都只能使用剩下的第 33 种颜色，因此有 3×2=63\times2=6 种. 所以外围区域的着色方法数为
N=12+6=18N=12+6=18
所以总着色方法数为
4×18=724\times18=72
\end{solution}

2003 · 全国 · 大纲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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