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共找到 40 题
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12数列★★★★☆
00-11 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots 满足 ai∈{0,1}a_i\in\{0,1\}（i=1i=1，22，⋯\cdots），且存在正整数 mm，使得 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）成立，则称其为 00-11 周期序列，并称满足 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）的最小正整数 mm 为这个序列的周期. 对于周期为 mm 的 00-11 序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots，C(k)=1m∑i=1maiai+kC(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}（k=1k=1，22，⋯\cdots，m−1m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为 55 的 00-11 序列中，满足 C(k)≤15C(k)\leq \dfrac{1}{5}（k=1k=1，22，33，44）的序列是（ ）
A.
11010⋯11010\cdots
B.
11011⋯11011\cdots
C.
10001⋯10001\cdots
D.
11001⋯11001\cdots

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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15立体几何初步★★★★☆
《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马. 设 AA1AA_1 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA1AA_1 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A.
44
B.
88
C.
1212
D.
1616

2018 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
定义“规范 0101 数列”{an}\{a_n\} 如下：{an}\{a_n\} 共有 2m2m 项，其中 mm 项为 00，mm 项为 11，且对任意 k≤2mk\le2m，a1a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 中 00 的个数不少于 11 的个数. 若 m=4m=4，则不同的“规范 0101 数列”共有（ ）
A.
1818 个
B.
1616 个
C.
1414 个
D.
1212 个

2016 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
若集合 E={(p,q,r,s)∣0⩽p<s⩽4,0⩽q<s⩽4,0⩽r<s⩽4 且 p,q,r,s∈N}E = \{(p, q, r, s) \mid 0 \leqslant p < s \leqslant 4, 0 \leqslant q < s \leqslant 4, 0 \leqslant r < s \leqslant 4\text{ 且 }p, q, r, s \in \mathbf{N}\}，F={(t,u,v,w)∣0⩽t<u⩽4,0⩽v<w⩽4 且 t,u,v,w∈N}F = \{(t, u, v, w) \mid 0 \leqslant t < u \leqslant 4, 0 \leqslant v < w \leqslant 4\text{ 且 }t, u, v, w \in \mathbf{N}\}，用 card⁡(X)\operatorname{card}(X) 表示集合 XX 中元素个数，则 card⁡(E)+card⁡(F)=\operatorname{card}(E) + \operatorname{card}(F) =（ ）
A.
200200
B.
150150
C.
100100
D.
5050

2015 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★★★☆
某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.
7272
B.
120120
C.
144144
D.
168168

2014 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品. 已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
A.
1 或 3
B.
1 或 4
C.
2 或 3
D.
2 或 4

2012 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
方程 ay=b2x2+cay = b^2 x^2 + c 中的 aa，bb，c∈{−3,−2,0,1,2,3}c \in \{-3, -2, 0, 1, 2, 3\}，且 aa，bb，cc 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A.
60 条
B.
62 条
C.
71 条
D.
80 条

2012 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
方程 ay=b2x2+cay = b^2 x^2 + c 中的 aa，bb，c∈{−2,0,1,2,3}c \in \{-2, 0, 1, 2, 3\}，且 aa，bb，cc 互不相同. 在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A.
28 条
B.
32 条
C.
36 条
D.
48 条

2012 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
在集合 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 中任取一个偶数 aa 和一个奇数 bb 构成以原点为起点的向量 α=(a,b)\alpha = (a,b). 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量作为邻边作平行四边形. 记所有作成的平行四边形的个数为 nn，其中面积不超过 4 的平行四边形的个数为 mm，则 mn=\frac{m}{n}=（ ）
A.
415\frac{4}{15}
B.
13\frac{1}{3}
C.
25\frac{2}{5}
D.
23\frac{2}{3}

2011 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
在集合 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 中任取一个偶数 aa 和一个奇数 bb 构成以原点为起点的向量 α=(a,b)\alpha = (a, b). 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为 nn，其中面积等于 22 的平行四边形的个数为 mm，则 mn=\frac{m}{n} =（ ）
A.
215\frac{2}{15}
B.
15\frac{1}{5}
C.
415\frac{4}{15}
D.
13\frac{1}{3}

2011 · 四川 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
如图，用四种不同颜色给图中的 AA，BB，CC，DD，EE，FF 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
\begin{answer} B \end{answer} \begin{solution} 由图可知，上方三角形为 △ADE\triangle ADE，下方三角形为 △BCF\triangle BCF，并且对应竖直线段为 ABAB，DCDC，EFEF. 先给 AA，DD，EE 涂色，有
4⋅3⋅2=244\cdot3\cdot2=24
种方法.
固定 AA，DD，EE 的颜色分别为 11，22，33，记第4种颜色为 44. 下面按 BB 的颜色分类计数. BB 不能取颜色 11. 当 B=2B=2 时，CC 可取 11，33，44：若 C=1C=1，则 FF 有1种取法；若 C=3C=3，则 FF 有2种取法；若 C=4C=4，则 FF 有1种取法，共4种. 当 B=3B=3 时，CC 可取 1,41,4，对应的 FF 各有2种取法，共4种. 当 B=4B=4 时，CC 可取 1,31,3，对应的 FF 分别有1种、2种取法，共3种. 因而固定上方三点颜色后，下方三点有
4+4+3=114+4+3=11
种涂法. 故总涂色方法数为 24⋅11=26424\cdot11=264，选 B. \end{solution}
A.
288288 种
B.
264264 种
C.
240240 种
D.
168168 种

2010 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★★☆
现安排甲，乙，丙，丁，戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译，导游，礼仪，司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加. 甲，乙不会开车但能从事其他三项工作，丙，丁，戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A.
152
B.
126
C.
90
D.
54

2010 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★★★☆
某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 先把甲、乙看作一个整体. 甲、乙相邻时，这个整体在 7 个位置中有 6 种放法，甲、乙在整体内还有 2 种次序，因此不考虑其他限制时共有 6!⋅26!\cdot2 种安排.
其中丙排在 10 月 1 日时，甲、乙整体只能放在第 2 至第 7 天中相邻的位置，共有 5 种放法，故有 5⋅2⋅4!5\cdot2\cdot4! 种安排. 类似地，丁排在 10 月 7 日时也有 5⋅2⋅4!5\cdot2\cdot4! 种安排.
丙排在 10 月 1 日且丁排在 10 月 7 日时，甲、乙整体在第 2 至第 6 天中有 4 种相邻放法，故有 4⋅2⋅3!4\cdot2\cdot3! 种安排. 由容斥原理，不同的安排方案数为
6!⋅2−2⋅5⋅2⋅4!+4⋅2⋅3!=1440−480+48=10086!\cdot2-2\cdot5\cdot2\cdot4!+4\cdot2\cdot3!=1440-480+48=1008
故选 C. \end{solution}
A.
504504 种
B.
960960 种
C.
10081008 种
D.
11081108 种

2010 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字且 1，3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（ ）
A.
7272
B.
9696
C.
108108
D.
144144

2010 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10概率与统计★★★★☆
为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3 种3\text{ 种} 不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐 3 种3\text{ 种} 卡片可获奖，现购买该种食品 5 袋5\text{ 袋}，能获奖的概率为（ ）
A.
3181\frac{31}{81}
B.
3381\frac{33}{81}
C.
4881\frac{48}{81}
D.
5081\frac{50}{81}

2009 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
22 位男生和 33 位女生共 55 位同学站成一排，若男生甲不站两端，33 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A.
6060
B.
4848
C.
4242
D.
3636

2009 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
有 88 张卡片分别标有数字 11，22，33，44，55，66，77，88，从中取出 66 张卡片排成 33 行 22 列，要求 33 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 55，则不同的排法共有（\quad）
A.
13441344 种
B.
12481248 种
C.
10561056 种
D.
960960 种

2008 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
将数字 11，22，33，44，55，66 排成一列，记第 ii 个数为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，66）. 若 a1≠1a_1\neq1，a3≠3a_3\neq3，a5≠5a_5\neq5，a1<a3<a5a_1<a_3<a_5，则不同的排列方法种数为（ ）
A.
1818
B.
3030
C.
3636
D.
4848

2007 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
已知直线 xa+yb=1\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1（aa，bb 是非零常数）与圆 x2+y2=100x^2 + y^2 = 100 有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（\quad）
A.
6060 条
B.
6666 条
C.
7272 条
D.
7878 条

2007 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★★★☆
在 (1+x)n(1 + x)^n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）的二项展开式中，只有其 x5x^5 的系数最大，则 n=n =（ ）
A.
88
B.
99
C.
1010
D.
1111

2007 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★★★☆
如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图. 公司在年初分配给 AA，BB，CC，DD 四个维修点某种配件各 5050 件. 在使用前发现需将 AA，BB，CC，DD 四个维修点的这批配件分别调整为 4040，4545，5454，6161 件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（nn 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 nn）为（ ）
A.
1515
B.
1616
C.
1717
D.
1818

2007 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
用长度分别为 22，33，44，55，66（单位：cm\mathrm{cm}）的 55 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A.
85 cm28\sqrt5\mathrm{~cm}^{2}
B.
610 cm26\sqrt{10}\mathrm{~cm}^{2}
C.
355 cm23\sqrt{55}\mathrm{~cm}^{2}
D.
20 cm220\mathrm{~cm}^{2}

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
用长度分别为 22，33，44，55，66（单位：cm\mathrm{cm}）的 55 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A.
85 cm28\sqrt{5}\mathrm{~cm}^{2}
B.
610 cm26\sqrt{10}\mathrm{~cm}^{2}
C.
355 cm23\sqrt{55}\mathrm{~cm}^{2}
D.
20 cm220\mathrm{~cm}^{2}

2006 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
图中有一个信号源和五个接收器. 接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号. 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组. 将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）
A.
445\frac{4}{45}
B.
136\frac{1}{36}
C.
415\frac{4}{15}
D.
815\frac{8}{15}

2006 · 江苏 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
函数 f:{1,2,3}→{1,2,3}f: \{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\} 满足 f(f(x))=f(x)f(f(x)) = f(x)，则这样的函数个数共有（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设值域中的元素集合为 S=f({1,2,3})S=f(\{1,2,3\}). 对任意 y∈Sy\in S，存在 xx 使 y=f(x)y=f(x)，于是由题设 f(y)=f(f(x))=f(x)=yf(y)=f(f(x))=f(x)=y，所以 SS 中每个元素都是不动点. 反过来，只要规定 SS 中元素各自映射到自身，并把其余元素任意映射到 SS，就一定满足 f(f(x))=f(x)f(f(x))=f(x). 因而 SS 非空.
若 ∣S∣=k|S|=k，先从 3 个元素中选出 SS，有 C3k\mathrm C_3^k 种；对剩余的 3−k3-k 个元素，每个都有 kk 种像，故有 k3−kk^{3-k} 种. 所以函数总数为
∑k=13C3kk3−k=C31⋅12+C32⋅2+C33⋅1=3+6+1=10\sum_{k=1}^{3}\mathrm C_3^k k^{3-k}=\mathrm C_3^1\cdot1^2+\mathrm C_3^2\cdot2+\mathrm C_3^3\cdot1=3+6+1=10
因此选 D. \end{solution}
A.
11 个
B.
44 个
C.
88 个
D.
1010 个

2006 · 浙江 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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