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23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
(1) 求 7C63−4C747\mathrm C_6^3-4\mathrm C_7^4 的值； (2) 设 mm，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，n≥mn\ge m，求证： (m+1)Cmm+(m+2)Cm+1m+(m+3)Cm+2m+⋯+nCn−1m+(n+1)Cnm=(m+1)Cn+2m+2.(m+1)\mathrm C_m^m+(m+2)\mathrm C_{m+1}^m+(m+3)\mathrm C_{m+2}^m+\cdots+n\mathrm C_{n-1}^m+(n+1)\mathrm C_n^m=(m+1)\mathrm C_{n+2}^{m+2}.

2016 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
设整数 n⩾4n\geqslant 4，P(a,b)P(a,b) 是平面直角坐标系 xOyxOy 中的点，其中 aa，b∈{1,2,3,…,n}b\in\{1,2,3,\dots,n\}，a>ba>b.
(1) 记 AnA_{n} 为满足 a−b=3a-b=3 的点 PP 的个数，求 AnA_{n}； (2) 记 BnB_{n} 为满足 13(a−b)\frac{1}{3}(a-b) 是整数的点 PP 的个数，求 BnB_{n}.

2011 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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20计数原理与组合数学★★★★☆
设 dd 为非零实数，an=1n[Cn1d+2Cn2d2+⋯+(n−1)Cnn−1dn−1+nCnndn]a_{n} = \frac{1}{n}\left[\mathrm C_n^1d + 2\mathrm C_n^2d^{2} + \dots + (n - 1)\mathrm C_n^{n - 1}d^{n - 1} + n\mathrm C_n^nd^{n}\right] （n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 写出 a1a_1，a2a_2，a3a_3 并判断 {an}\{a_n\} 是否为等比数列. 若是，给出证明；若不是，说明理由； (2) 设 bn=ndanb_n = nda_n （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n.

2011 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
对于正整数 n≥2n\ge2，用 TnT_n 表示关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的有序数组 (a,b)(a,b) 的组数，其中 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等）；对于随机选取的 aa，b∈{1,2,⋯ ,n}b\in\{1,2,\cdots,n\}（aa 和 bb 可以相等），记 PnP_n 为关于 xx 的一元二次方程 x2+2ax+b=0x^2+2ax+b=0 有实数根的概率.
(1) 求 Tn2T_{n^2} 和 Pn2P_{n^2}； (2) 求证：对任意正整数 n≥2n\ge2，有 Pn>1−1nP_n>1-\frac{1}{\sqrt n}.

2009 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
请先阅读：在等式 cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）的两边对 xx 求导 (cos⁡2x)′=(2cos⁡2x−1)′(\cos 2x)' = (2\cos^2 x - 1)'. 由求导法则得 (−sin⁡2x)⋅2=4cos⁡x⋅(−sin⁡x)(- \sin 2x)\cdot 2 = 4\cos x \cdot (-\sin x)，化简得等式 sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x.
(1) 利用上述想法（或者其他方法），试由等式 (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnnxn(1 + x)^n = \mathrm C_n^0 + \mathrm C_n^1x + \mathrm C_n^2x^2 + \cdots + \mathrm C_n^n x^n（x∈Rx \in \mathbf{R}，整数 n⩾2n \geqslant 2）证明：n[(1+x)n−1−1]=∑k=2nkCnkxk−1n\left[(1 + x)^{n-1} - 1\right] = \sum_{k=2}^{n} k \mathrm C_n^k x^{k-1}； (2) 对于正整数 n⩾3n \geqslant 3，求证：
(i) ∑k=1n(−1)kkCnk=0\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k \mathrm C_n^k = 0； (ii) ∑k=1n(−1)kk2Cnk=0\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 \mathrm C_n^k = 0； (iii) ∑k=0n1k+1Cnk=2n+1−1n+1\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} \mathrm C_n^k = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}.

2008 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知各项全不为零的数列 {ak}\{a_{k}\} 的前 kk 项和为 SkS_{k}，且 Sk=12akak+1S_{k} = \frac{1}{2} a_{k} a_{k + 1}（k∈N∗k \in \mathbf{N}^*），其中 a1=1a_{1} = 1.
(1) 求数列 {ak}\{a_{k}\} 的通项公式； (2) 对任意给定的正整数 nn（n⩾2n \geqslant 2），数列 {bk}\{b_k\} 满足 bk+1bk=k−nak+1\frac{b_{k+1}}{b_k} = \frac{k-n}{a_{k+1}} （k=1k = 1，22，⋯\cdots，n−1n-1），b1=1b_1 = 1. 求 b1+b2+⋯+bnb_1 + b_2 + \cdots + b_n.

2007 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
下表给出一个“等差数阵”.
其中每行，每列都是等差数列，aija_{ij} 表示位于第 ii 行第 jj 列的数.
(1) 写出 a45a_{45} 的值； (2) 写出 aija_{ij} 的计算公式以及 20082008 这个数在等差数阵中所在的位置.

2004 · 北京 · 春季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★☆
设 {bn}\{b_n\} 是集合 {2r+2s+2t∣0⩽r<s<t, r,s,t∈Z}\{2^{r} + 2^{s} + 2^{t} \mid 0 \leqslant r < s < t,\ r, s, t \in \mathbf{Z}\} 中所有的数从小到大排列成的数列，已知 bk=1160b_k = 1160，求 kk.

2003 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} （nn 为正整数）是首项是 a1a_{1}，公比为 qq 的等比数列.
(1) 求和：a1C20−a2C21+a3C22a_{1}\mathrm C_{2}^{0} - a_{2}\mathrm C_{2}^{1} + a_{3}\mathrm C_{2}^{2}，a1C30−a2C31+a3C32−a4C33a_{1}\mathrm C_{3}^{0} - a_{2}\mathrm C_{3}^{1} + a_{3}\mathrm C_{3}^{2} - a_{4}\mathrm C_{3}^{3}； (2) 由前一问的结果归纳概括出关于正整数 nn 的一个结论，并加以证明； (3) 设 q≠1q \neq 1，SnS_n 是等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和. 求：S1Cn0−S2Cn1+S3Cn2−S4Cn3+⋯+(−1)nSn+1CnnS_1\mathrm C_n^0 - S_2\mathrm C_n^1 + S_3\mathrm C_n^2 - S_4\mathrm C_n^3 + \cdots + (-1)^n S_{n+1}\mathrm C_n^n.

2003 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20计数原理与组合数学★★★★☆
在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求 nn 个不同的数 v1v_{1}，v2v_{2}，⋯\cdots，vnv_{n} 的和 ∑i=1nvi=v1+v2+⋯+vn\sum_{i=1}^{n}v_{i}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}. 计算开始前，nn 个数存贮在由网络连接的 nn 台计算机中，每台机器存一个数. 计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作. 为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：
\begin{array}{c} \hline 机器号 & 初始时 & \multicolumn{2}{c|}{第一单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第二单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第三单位时间} \\ \cline{3-8} & & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 \\ \hline 1 & $v_{1}$ & 2 & $v_{1}+v_{2}$ & & & & \\ \hline 2 & $v_{2}$ & 1 & $v_{2}+v_{1}$ & & & & \\ \hline \end{array}
(1) 当 n=4n=4 时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表：
\begin{array}{c} \hline 机器号 & 初始时 & \multicolumn{2}{c|}{第一单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第二单位时间} & \multicolumn{2}{c|}{第三单位时间} \\ \cline{3-8} & & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 & 被读机号 & 结果 \\ \hline 1 & $v_{1}$ & & & & & & \\ \hline 2 & $v_{2}$ & & & & & & \\ \hline 3 & $v_{3}$ & & & & & & \\ \hline 4 & $v_{4}$ & & & & & & \\ \hline \end{array}
(2) 当 n=128n=128 时，要使所有机器都得到 ∑i=1nvi\sum_{i=1}^{n}v_{i}，至少需要多少个单位时间可完成计算？

2002 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★☆
规定 Cxm=x(x−1)⋯(x−m+1)m!\mathrm C_{x}^{m} = \dfrac{x(x - 1)\cdots(x - m + 1)}{m!}，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，mm 是正整数，且 Cx0=1\mathrm C_{x}^{0} = 1，这是组合数 Cnm\mathrm C_{n}^{m}（nn，mm 是正整数，且 m⩽nm \leqslant n）的一种推广.
(1) 求 C−155\mathrm C_{-15}^{5} 的值. (2) 组合数的两个性质：
① Cnm=Cnn−m\mathrm C_{n}^{m} = \mathrm C_{n}^{n - m}； ② Cnm+Cnm−1=Cn+1m\mathrm C_{n}^{m} + \mathrm C_{n}^{m - 1} = \mathrm C_{n + 1}^{m}.
是否都能推广到 Cxm\mathrm C_{x}^{m}（x∈Rx \in \mathbf{R}，mm 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； (3) 已知组合数 Cnm\mathrm C_{n}^{m} 是正整数，证明：当 x∈Zx \in \mathbf{Z}，mm 是正整数时，Cxm∈Z\mathrm C_{x}^{m} \in \mathbf{Z}.

2002 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★☆
规定 Cxm=x(x−1)⋯(x−m+1)m!\mathrm C_{x}^{m} = \dfrac{x(x - 1)\cdots(x - m + 1)}{m!}，其中 x∈Rx \in \mathbf{R}，mm 是正整数，且 Cx0=1\mathrm C_{x}^{0} = 1，这是组合数 Cnm\mathrm C_{n}^{m}（nn，mm 是正整数，且 m⩽nm \leqslant n）的一种推广.
(1) 求 C−153\mathrm C_{-15}^{3} 的值； (2) 设 x>0x > 0，当 xx 为何值时，Cx3(Cx1)2\dfrac{\mathrm C_{x}^{3}}{(\mathrm C_{x}^{1})^{2}} 取得最小值？ (3) 组合数的两个性质：
① Cnm=Cnn−m\mathrm C_{n}^{m} = \mathrm C_{n}^{n - m}； ② Cnm+Cnm−1=Cn+1m\mathrm C_{n}^{m} + \mathrm C_{n}^{m - 1} = \mathrm C_{n + 1}^{m}.
是否都能推广到 Cxm\mathrm C_{x}^{m}（x∈Rx \in \mathbf{R}，mm 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.

2002 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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28数列★★★★☆
设 AnA_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 前 nn 项的和，An=32(an−1)A_{n}=\frac{3}{2}(a_{n}-1)（n∈Nn\in\mathbf{N}）. 数列 {bn}\{b_{n}\} 的通项公式为 bn=4n+3b_{n}=4n+3（n∈Nn\in\mathbf{N}）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 d∈{a1,a2,a3,⋯ ,an,⋯ }∩{b1,b2,b3,⋯ ,bn,⋯ }d\in\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}, \cdots\}\cap\{b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdots, b_{n}, \cdots\}，则称 dd 为数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 的公共项. 将数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 的公共项，按它们的原数列中的先后顺序排成一个新的数列 {dn}\{d_{n}\}，证明数列 {dn}\{d_{n}\} 的通项公式为 dn=32n+1d_{n}=3^{2n+1}（n∈Nn\in\mathbf{N}）； (3) 设数列 {dn}\{d_{n}\} 中的第 nn 项是数列 {bn}\{b_{n}\} 中的第 rr 项，BrB_{r} 为数列 {bn}\{b_{n}\} 前 rr 项的和，DnD_{n} 为数列 {dn}\{d_{n}\} 前 nn 项的和，Tn=Br−DnT_{n}=B_{r}-D_{n}. 求 lim⁡n→∞Tn(an)4\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_{n}}{(a_{n})^{4}}.

1996 · 上海 · 理 · 第 28 题 · 解答题

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08数列★★★★☆
用数学归纳法或其他方法证明：14+24+34+⋯+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)301^4+2^4+3^4+\dots+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}.

1977 · 湖南 · 第 8 题 · 解答题

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06计数原理与组合数学★★★★☆
比较 (2120)100\left( \frac{21}{20} \right)^{100} 与 100100 的大小.

1958 · 湖北 · 第 6 题 · 解答题

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