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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1−ax)ln⁡(1+x)−xf(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x.
(1) 当 a=−2a=-2 时，求 f(x)f(x) 的极值； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥0f(x)\ge 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16导数及其应用★★★★☆
当 x>0x>0 时，曲线 y=x3−3xy=x^3-3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay=-(x-1)^2+a 有两个交点，则 aa 的取值范围是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x)=a(x-1)-\ln x+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a≤2a\le2，证明：当 x>1x>1 时，f(x)<ex−1f(x)<\mathrm{e}^{x-1}.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−sin⁡xcos⁡2xf(x)=ax-\dfrac{\sin x}{\cos^2x}，x∈(0,π2)x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)+sin⁡x<0f(x)+\sin x<0，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC，点 DD 在边 BCBC 上，∠ADB=120∘\angle ADB=120^\circ，AD=2AD=2，CD=2BDCD=2BD. 当 ACAB\frac{AC}{AB} 取得最小值时，BD=BD=______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 在边 BCBC 上，∠ADB=120∘\angle ADB=120^\circ，AD=2AD=2，且 CD=2BDCD=2BD. 当 ACAB\dfrac{AC}{AB} 取得最小值时，BD=BD=______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−xf(x)=x^3-x，g(x)=x2+ag(x)=x^2+a，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (x1,f(x1))\left(x_1,f(x_1)\right) 处的切线也是曲线 y=g(x)y=g(x) 的切线.
(1) 若 x1=−1x_1=-1，求 aa； (2) 求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知 a>0a>0 且 a≠1a\ne 1，函数 f(x)=xaaxf(x)=\dfrac{x^a}{a^x}（x>0x>0）.
(1) 当 a=2a=2 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=1y=1 有且仅有两个交点，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=a2x2+ax−3ln⁡x+1f(x)=a^2x^2+ax-3\ln x+1，其中 a>0a>0.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 y=f(x)y=f(x) 的图象与 xx 轴没有公共点，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3+bx+cf(x)=x^3+bx+c，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (12,f(12))\left( \dfrac{1}{2},f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right) 处的切线与 yy 轴垂直.
(1) 求 bb； (2) 若 f(x)f(x) 有一个绝对值不大于 11 的零点，证明：f(x)f(x) 所有零点的绝对值都不大于 11.

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−kx+k2f(x)=x^3-kx+k^2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有三个零点，求 kk 的取值范围.

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2x3−ax2+bf(x)=2x^3-ax^2+b.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 是否存在 aa，bb，使得 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 的最小值为 −1-1 且最大值为 11？若存在，求出 aa，bb 的所有值；若不存在，说明理由.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2x3−ax2+2f(x)=2x^3-ax^2+2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 0<a<30<a<3 时，记 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 的最大值为 MM，最小值为 mm，求 M−mM-m 的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(ax2+x−1)e−xf(x)=\left(ax^2+x-1\right)\mathrm{e}^{-x}.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,−1)(0,-1) 处的切线方程； (2) 证明：当 a≥1a\ge1 时，f(x)+e≥0f(x)+\mathrm{e}\ge0.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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09导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1 \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
\begin{solution} 设 P1=(x1,−ln⁡x1)P_1=(x_1,-\ln x_1)，P2=(x2,ln⁡x2)P_2=(x_2,\ln x_2)，其中 0<x1<1<x20<x_1<1<x_2.两条切线的斜率分别为 −1x1-\frac{1}{x_1} 和 1x2\frac{1}{x_2}.由两切线垂直，
−1x1x2=−1-\frac1{x_1x_2}=-1
故 x1x2=1x_1x_2=1.令 t=ln⁡x2=−ln⁡x1>0t=\ln x_2=-\ln x_1>0，则 x1=e−tx_1=\mathrm{e}^{-t}，x2=etx_2=\mathrm{e}^t.两条切线分别为 l1:y=−etx+t+1l_1:y=-\mathrm{e}^tx+t+1，l2:y=e−tx+t−1l_2:y=\mathrm{e}^{-t}x+t-1. 它们在 yy 轴上的截距之差为 22，而联立两式得交点 PP 的横坐标
xP=2et+e−tx_P=\frac{2}{\mathrm{e}^t+\mathrm{e}^{-t}}
所以
S△PAB=12×2×xP=2et+e−tS_{\triangle PAB}=\frac12\times2\times x_P=\frac{2}{\mathrm{e}^t+\mathrm{e}^{-t}}
当 t>0t>0 时，分母大于 22，且随 tt 从 00 增大到 +∞+\infty 时该面积从 11 降到 00.故面积的取值范围为 (0,1)(0,1)，选 A. \end{solution}
A.
(0,1)\left(0,1\right)
B.
(0,2)\left(0,2\right)
C.
(0,+∞)\left(0,+\infty\right)
D.
(1,+∞)\left(1,+\infty\right)

2016 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
设直线 l1l_1，l2l_2 分别是函数
f(x)={−ln⁡x,0<x<1,ln⁡x,x>1,f(x)=\begin{cases} -\ln x,&0<x<1,\\ \ln x,&x>1, \end{cases}
图象上点 P1P_1，P2P_2 处的切线，l1l_1 与 l2l_2 垂直相交于点 PP，且 l1l_1，l2l_2 分别与 yy 轴相交于点 AA，BB，则 △PAB\triangle PAB 的面积的取值范围是（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(0,2)(0,2)
C.
(0,+∞)(0,+\infty)
D.
(1,+∞)(1,+\infty)

2016 · 四川 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★★☆
如果函数 f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1f(x) = \frac{1}{2} (m - 2)x^2 + (n - 8)x + 1 （m⩾0m \geqslant 0，n⩾0n \geqslant 0）在区间 [12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right] 上单调递减，那么 mnmn 的最大值为（ ）
\begin{solution} 函数导数为 f′(x)=(m−2)x+n−8f'(x)=(m-2)x+n-8. 要使函数在 [12,2]\left[\frac12,2\right] 上单调递减，需要 f′(x)⩽0f'(x)\leqslant0 在该区间恒成立.
当 m⩾2m\geqslant2 时，导数在区间上的最大值为 f′(2)f'(2)，故 2m+n⩽122m+n\leqslant12. 此时 2⩽m⩽62\leqslant m\leqslant6，且
mn⩽m(12−2m)=18−2(m−3)2⩽18mn\leqslant m(12-2m)=18-2(m-3)^2\leqslant18
当 0⩽m<20\leqslant m<2 时，导数在区间上的最大值为 f′(12)f'\left(\frac12\right)，故 n⩽9−m2n\leqslant9-\frac m2. 因而 mn⩽m(9−m2)<16<18mn\leqslant m\left(9-\frac m2\right)<16<18.
取 m=3m=3，n=6n=6 时，f′(x)=x−2⩽0f'(x)=x-2\leqslant0 在给定区间成立，且 mn=18mn=18，故选 B. \end{solution}
A.
1616
B.
1818
C.
2525
D.
812\frac{81}{2}

2015 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2xf(x) = 2^x，g(x)=x2+axg(x) = x^2 + ax（其中 a∈Ra \in \mathbf{R}）. 对于不相等的实数 x1x_1，x2x_2，设 m=f(x1)−f(x2)x1−x2m = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}，n=g(x1)−g(x2)x1−x2n = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}，现有如下命题：
① 对于任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 m>0m > 0； ② 对于任意的 aa 及任意不相等的实数 x1x_1，x2x_2，都有 n>0n > 0； ③ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=nm = n； ④ 对于任意的 aa，存在不相等的实数 x1x_1，x2x_2，使得 m=−nm = -n.
其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.

2015 · 四川 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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19数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上 （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 若 a1=−2a_{1} = -2，点 (a8,4b7)(a_{8}, 4b_{7}) 在函数 f(x)f(x) 的图象上，求数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn}\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2014 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数
f(x)={x2+2x+a,x<0,ln⁡x,x>0,f(x)=\begin{cases} x^2+2x+a,&x<0,\\ \ln x,&x>0, \end{cases}
其中 aa 是实数. 设 A(x1,f(x1))A(x_1,f(x_1))，B(x2,f(x2))B(x_2,f(x_2)) 为该函数图象上的两点，且 x1<x2x_1<x_2.
(1) 指出函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线互相垂直，且 x2<0x_2<0，证明：x2−x1⩾1x_2-x_1\geqslant1； (3) 若函数 f(x)f(x) 的图象在点 AA，BB 处的切线重合，求 aa 的取值范围.

2013 · 四川 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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10解析几何★★★★☆
在抛物线 y=x2+ax−5y = x^{2} + ax - 5 （a≠0a \neq 0）上取横坐标为 x1=−4x_{1} = -4，x2=2x_{2} = 2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=365x^{2} + 5y^{2} = 36 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A.
(−2,−9)(-2, -9)
B.
(0,−5)(0, -5)
C.
(2,−9)(2, -9)
D.
(1,−6)(1, -6)

2011 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
在抛物线 y=x2+ax−5y = x^2 + ax - 5（a≠0a \neq 0）上取横坐标为 x1=−4x_1 = -4，x2=2x_2 = 2 的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=365x^2 + 5y^2 = 36 相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）
A.
(−2,−9)(-2, -9)
B.
(0,−5)(0, -5)
C.
(2,−9)(2, -9)
D.
(1,−6)(1, -6)

2011 · 四川 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4，设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (xn,f(xn))(x_n, f(x_n)) 处的切线与 xx 轴的交点为 (xn+1,0)(x_{n+1}, 0)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），其中 x1x_1 为正实数.
(1) 用 xnx_n 表示 xn+1x_{n+1}； (2) 求证：对一切正整数 nn，xn+1⩽xnx_{n+1} \leqslant x_n 的充要条件是 x1⩾2x_1 \geqslant 2； (3) 若 x1=4x_1 = 4，记 an=lg⁡xn+2xn−2a_n = \lg \frac{x_n + 2}{x_n - 2}，证明数列 {an}\{a_n\} 成等比数列，并求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式.

2007 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4，设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (xn,f(xn))(x_n, f(x_n)) 处的切线与 xx 轴的交点为 (xn+1,0)(x_{n+1}, 0)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），其中 x1x_1 为正实数.
(1) 用 xnx_{n} 表示 xn+1x_{n + 1}； (2) 若 x1=4x_{1} = 4，记 an=lg⁡xn+2xn−2a_{n} = \lg \frac{x_{n} + 2}{x_{n} - 2}，证明数列 {an}\{a_{n}\} 成等比数列，并求数列 {xn}\{x_{n}\} 的通项公式； (3) 若 x1=4x_{1} = 4，bn=xn−2b_{n} = x_{n} - 2，TnT_{n} 是数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和，证明 Tn<3T_{n} < 3.

2007 · 四川 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，其中 a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，2an=an+1+an−12a_n=a_{n+1}+a_{n-1}（n⩾2n\geqslant 2）. 记数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，数列 {ln⁡Sn}\{\ln S_n\} 的前 nn 项和为 UnU_n.
(1) 求 UnU_n； (2) 设 Fn(x)=eUn2n(n!)2x2nF_n(x)=\frac{\mathrm{e}^{U_n}}{2n(n!)^2}x^{2n}（x>0x>0），Tn(x)=∑k=1nFk′(x)T_n(x)=\sum_{k=1}^{n}F_k'(x)（其中 Fk′(x)F_k'(x) 为 Fk(x)F_k(x) 的导函数），计算 lim⁡n→∞Tn(x)Tn+1(x)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n(x)}{T_{n+1}(x)}.

2006 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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