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08不等式★★★★☆
已知 a∈Ra\in \mathbf{R}，设函数
f(x)={x2−2ax+2a,x≤1,x−aln⁡x,x>1.f(x)=\begin{cases} x^2-2ax+2a, & x\le 1,\\ x-a\ln x, & x>1. \end{cases}
若关于 xx 的不等式 f(x)≥0f(x)\ge 0 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[0,1][0,1]
B.
[0,2][0,2]
C.
[0,e][0,\mathrm{e}]
D.
[1,e][1,\mathrm{e}]

2019 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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19导数及其应用★★★★☆
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，∣a∣≤1|a|\le 1. 已知函数 f(x)=x3−6x2−3a(a−4)x+bf(x)=x^3-6x^2-3a(a-4)x+b，g(x)=exf(x)g(x)=\mathrm{e}^x f(x).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 已知函数 y=g(x)y=g(x) 和 y=exy=\mathrm{e}^x 的图象在公共点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处有相同的切线.
(i) 求证：f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处的导数等于 00； (ii) 若关于 xx 的不等式 g(x)≤exg(x)\le \mathrm{e}^x 在区间 [x0−1,x0+1][x_0-1,x_0+1] 上恒成立，求 bb 的取值范围.

2017 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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07函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=2x∣log⁡0.5x∣−1f(x) = 2^{x} |\log_{0.5} x| - 1 的零点个数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2013 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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14导数及其应用★★★★☆
设 a+b=2a + b = 2，b>0b > 0，则当 a=‾a =\underline{\hspace{2em}} 时，12∣a∣+∣a∣b\frac{1}{2|a|} + \frac{|a|}{b} 取得最小值.

2013 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=4x3+3tx2−6t2x+t−1f(x) = 4x^{3} + 3tx^{2} - 6t^{2}x + t - 1，x∈Rx \in \mathbf{R}，其中 t∈Rt \in \mathbf{R}.
(1) 当 t=1t = 1 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 当 t≠0t \neq 0 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (3) 证明：对任意的 t∈(0,+∞)t \in (0, +\infty)，f(x)f(x) 在区间 (0,1)(0, 1) 内均存在零点.

2011 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=xe−xf(x) = x\mathrm{e}^{-x}（x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间和极值； (2) 已知函数 y=g(x)y = g(x) 的图象与函数 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 x=1x = 1 对称. 证明：当 x>1x > 1 时，f(x)>g(x)f(x) > g(x)； (3) 如果 x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，且 f(x1)=f(x2)f(x_{1}) = f(x_{2})，证明：x1+x2>2x_{1} + x_{2} > 2.

2010 · 天津 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax3−32x2+1f(x) = ax^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 （x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 a>0a > 0.
(1) 若 a=1a = 1，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2,f(2)) 处的切线方程； (2) 若在区间 [−12,12]\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] 上，f(x)>0f(x) > 0 恒成立，求 aa 的取值范围.

2010 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x+ax+bf(x) = x + \frac{a}{x} + b（x≠0x \neq 0），其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(2,f(2))P(2, f(2)) 处的切线方程为 y=3x+1y = 3x + 1，求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性； (3) 若对于任意的 a∈[12,2]a \in \left[\frac{1}{2}, 2\right]，不等式 f(x)⩽10f(x) \leqslant 10 在 [14,1]\left[\frac{1}{4}, 1\right] 上恒成立，求 bb 的取值范围.

2008 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=−x(x−a)2f(x) = -x(x - a)^2（x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 当 a=1a = 1 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程. (2) 当 a≠0a \neq 0 时，求函数 f(x)f(x) 的极大值和极小值. (3) 当 a>3a > 3 时，证明存在 k∈[−1,0]k \in [-1,0]，使得不等式 f(k−cos⁡x)⩾f(k2−cos⁡2x)f(k - \cos x) \geqslant f(k^2 - \cos^2 x) 对任意的 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立.

2007 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=4x3−3x2cos⁡θ+316cos⁡θf(x)=4x^{3}-3x^{2}\cos\theta+\frac{3}{16}\cos\theta，其中 x∈Rx\in\mathbf{R}，θ\theta 为参数，且 0⩽θ<2π0\leqslant\theta<2\pi.
(1) 当 cos⁡θ=0\cos\theta=0 时，判断函数 f(x)f(x) 是否有极值； (2) 要使函数 f(x)f(x) 的极小值大于零，求参数 θ\theta 的取值范围； (3) 若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 θ\theta，函数 f(x)f(x) 在区间 (2a−1,a)(2a-1,a) 内都是增函数，求实数 aa 的取值范围.

2006 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★★☆
如果函数 f(x)=ax(ax−3a2−1)f(x) = a^x(a^x - 3a^2 - 1)（a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1）在区间 [0,+∞)[0,+\infty) 上是增函数，那么实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,23]\left(0, \frac{2}{3}\right]
B.
[33,1)\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)
C.
(1,3](1, \sqrt{3}]
D.
[32,+∞)\left[\frac{3}{2}, +\infty\right)

2006 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 米BC=80\text{ 米}，塔所在的山高 OB=220 米OB=220\text{ 米}，OA=200 米OA=200\text{ 米}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan\alpha=\dfrac12. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？（不计此人的身高）

2005 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
某人在一山坡 PP 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 BC=80 mBC = 80\mathrm{~m}，塔所在的山高 OB=220 mOB = 220\mathrm{~m}，OA=200 mOA = 200\mathrm{~m}. 图中所示的山坡可视为直线 ll 且点 PP 在直线 ll 上，ll 与水平地面的夹角为 α\alpha，tan⁡α=12\tan \alpha = \frac{1}{2}. 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 ∠BPC\angle BPC 最大？ （不计此人的身高）

2005 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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