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116分导数及其应用★★★★☆
若函数 f(x)=aln⁡x+bx+cx2f(x)=a\ln x+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}（a≠0a\ne 0） 既有极大值也有极小值，则（ ）
A.
bc>0bc>0
B.
ab>0ab>0
C.
b2+8ac>0b^2+8ac>0
D.
ac<0ac<0

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 11 题 · 多选题

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09立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡(a−x)f(x)=\ln(a-x)，已知 x=0x=0 是函数 y=xf(x)y=xf(x) 的极值点.
(1) 求 aa； (2) 设函数 g(x)=x+f(x)xf(x)g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}，证明：g(x)<1g(x)<1.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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12导数及其应用★★★★☆
设 a≠0a\ne0，若 x=ax=a 是函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a\left(x-a\right)^2\left(x-b\right) 的极大值点，则（ ）
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−x2+ax+1f(x)=x^3-x^2+ax+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y=f(x)y=f(x) 的公共点的坐标.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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15导数及其应用★★★★☆
设 x3+ax+b=0x^{3} + ax + b = 0，其中 aa，bb 均为实数. 下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是______.
① a=−3a = -3，b=−3b = -3； ② a=−3a = -3，b=2b = 2； ③ a=−3a = -3，b>2b > 2； ④ a=0a = 0，b=2b = 2； ⑤ a=1a = 1，b=2b = 2.
\begin{solution} 令 g(x)=x3+ax+bg(x)=x^3+ax+b，则 g′(x)=3x2+ag'(x)=3x^2+a.
当 a=−3a=-3 时，g′(x)=3(x2−1)g'(x)=3(x^2-1)，极值点为 x=−1x=-1，11，且 g(−1)=b+2g(-1)=b+2，g(1)=b−2g(1)=b-2. 条件\circled{1}中 b=−3b=-3，两个极值点的函数值均为负，曲线只在 x>1x>1 上与 xx 轴相交一次；条件\circled{2}中 b=2b=2，方程为 x3−3x+2=(x−1)2(x+2)=0x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0，有两个不同的实根，故不满足；条件\circled{3}中 b>2b>2，两个极值点的函数值均为正，曲线只在 x<−1x<-1 上与 xx 轴相交一次.
条件\circled{4}中方程为 x3+2=0x^3+2=0，函数 x3+2x^3+2 严格递增，只有一个实根；条件\circled{5}中 g′(x)=3x2+1>0g'(x)=3x^2+1>0，函数严格递增，也只有一个实根. 所以正确条件为 \circled1\circled{1}，\circled3\circled{3}，\circled4\circled{4}，\circled5\circled{5}. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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18导数及其应用★★★★☆
设 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，xnx_n 是曲线 y=x2n+2+1y = x^{2n+2} + 1 在点 (1,2)(1,2) 处的切线与 xx 轴交点的横坐标.
(1) 求数列 {xn}\{x_{n}\} 的通项公式； (2) 记 Tn=x12x32⋯x2n−12T_{n} = x_{1}^{2}x_{3}^{2}\cdots x_{2n - 1}^{2}. 证明：Tn⩾14nT_{n} \geqslant \frac{1}{4n}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数 y=x2n+2+1y=x^{2n+2}+1 在 (1,2)(1,2) 处的导数为 2n+22n+2，所以切线方程为
y−2=(2n+2)(x−1)y-2=(2n+2)(x-1)
令 y=0y=0，得 −2=(2n+2)(xn−1)-2=(2n+2)(x_n-1)，xn=1−1n+1=nn+1x_n=1-\frac1{n+1}=\frac n{n+1}.
\item 由通项公式，
Tn=∏k=1n(2k−12k)2T_n=\prod_{k=1}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2
当 k⩾2k\geqslant2 时，
(2k−1)2−2k(2k−2)=1>0(2k-1)^2-2k(2k-2)=1>0
故
(2k−12k)2>2k−22k=k−1k\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2>\frac{2k-2}{2k}=\frac{k-1}{k}
当 n=1n=1 时，T1=14=14nT_1=\frac14=\frac1{4n}；当 n⩾2n\geqslant2 时，
Tn=14∏k=2n(2k−12k)2>14∏k=2nk−1k=14nT_n=\frac14\prod_{k=2}^n\left(\frac{2k-1}{2k}\right)^2 >\frac14\prod_{k=2}^n\frac{k-1}{k}=\frac1{4n}
所以对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，都有 Tn⩾14nT_n\geqslant\frac1{4n}. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=1+(1+a)x−x2−x3f(x) = 1 + (1 + a)x - x^2 - x^3，其中 a>0a > 0.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在其定义域上的单调性； (2) 当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，求 f(x)f(x) 取得最大值和最小值时的 xx 的值.

2014 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=1+(1+a)x−x2−x3f(x) = 1 + (1 + a)x - x^2 - x^3，其中 a>0a > 0.
(1) 讨论 f(x)f(x) 在其定义域上的单调性； (2) 当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，求 f(x)f(x) 取得最大值和最小值时的 xx 的值.

2014 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★★☆
若函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 有极值点 x1x_1，x2x_2，且 f(x1)=x1f(x_1) = x_1，则关于 xx 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=03(f(x))^2 + 2af(x) + b = 0 的不同实数根个数是（ ）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

2013 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 有两个极值点 x1x_1，x2x_2，若 f(x1)=x1<x2f(x_1) = x_1 < x_2，则关于 xx 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=03(f(x))^2 + 2af(x) + b = 0 的不同实根个数为（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2013 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax−(1+a2)x2f(x) = ax - (1 + a^2)x^2，其中 a>0a > 0，区间 I={x∣f(x)>0}I = \{x \mid f(x) > 0\}.
(1) 求 II 的长度（注：区间 (α,β)(\alpha, \beta) 的长度定义为 β−α\beta - \alpha）； (2) 给定常数 k∈(0,1)k \in (0,1)，当 1−k⩽a⩽1+k1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k 时，求 II 长度的最小值.

2013 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=aex+1aex+bf(x) = a\mathrm{e}^{x} + \frac{1}{a\mathrm{e}^{x}} + b （a>0a > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 在 [0,+∞)[0, +\infty) 内的最小值. (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程为 y=32xy = \frac{3}{2} x，求 aa，bb 的值.

2012 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=x2+sin⁡xf(x) = \frac{x}{2} + \sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn}\{x_n\}.
(1) 求数列 {xn}\{x_n\} 的通项公式； (2) 设 {xn}\{x_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求 sin⁡Sn\sin S_n.

2012 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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16导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=ex1+ax2f(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{1 + ax^2}，其中 aa 为正实数.
(1) 当 a=43a=\frac{4}{3} 时，求 f(x)f(x) 的极值点； (2) 若 f(x)f(x) 为 R\mathbf{R} 上的单调函数，求 aa 的取值范围.

2011 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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09导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上满足 f(x)=2f(2−x)−x2+8x−8f(x) = 2f(2 - x) - x^2 + 8x - 8，则曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程是（ ）
A.
y=2x−1y = 2x - 1
B.
y=xy = x
C.
y=3x−2y = 3x - 2
D.
y=−2x+3y = -2x + 3

2009 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−2x+a(2−ln⁡x)f(x) = x - \frac{2}{x} + a(2 - \ln x)，a>0a > 0. 讨论 f(x)f(x) 的单调性.

2009 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−2x+1−aln⁡xf(x) = x - \frac{2}{x} + 1 - a \ln x，a>0a > 0.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 a=3a = 3，求 f(x)f(x) 在区间 [1,e2][1, \mathrm{e}^2] 上值域，其中 e=0.71828⋯\mathrm{e} = 0.71828 \cdots 是自然对数的底数.

2009 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=a3x3−32x2+(a+1)x+1f(x) = \frac{a}{3} x^3 - \frac{3}{2} x^2 + (a + 1)x + 1，其中 aa 为实数.
(1) 已知函数 f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处取得极值，求 aa 的值； (2) 已知不等式 f′(x)>x2−x−a+1f'(x) > x^2 - x - a + 1 对任意 a∈(0,+∞)a \in (0, +\infty) 都成立，求实数 xx 的取值范围.

2008 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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