数迹
题目列表试卷列表
共找到 25 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
075分导数及其应用★★★★☆
设 a=0.1e0.1a=0.1\mathrm{e}^{0.1}，b=0.11−0.1b=\frac{0.1}{1-0.1}，c=−ln⁡0.9c=-\ln 0.9，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
c<a<bc<a<b
D.
a<c<ba<c<b

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析
085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
126分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 及其导函数 f′(x)f'(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，记 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x). 若 f(32−2x)f\left(\frac32-2x\right)，g(2+x)g(2+x) 均为偶函数，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
g(−12)=0g\left(-\frac12\right)=0
C.
f(−1)=f(4)f(-1)=f(4)
D.
g(−1)=g(2)g(-1)=g(2)

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

查看答案和解析
155分导数及其应用★★★★☆
若曲线 y=(x+a)exy=(x+a)\mathrm{e}^x 有两条过坐标原点的切线，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

查看答案和解析
20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★★☆
设 a>1a > 1，函数 f(x)=(1+x2)ex−af(x) = (1 + x^2)\mathrm{e}^x - a.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上仅有一个零点； (3) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 PP 处的切线与 xx 轴平行，且在点 M(m,n)M(m, n) 处的切线与直线 OPOP 平行（OO 是坐标原点），证明：m⩽a−2e3−1m \leqslant \sqrt[3]{a - \frac{2}{\mathrm{e}}} - 1.

2015 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=13x3+x2+ax+1f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + ax + 1（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 a<0a < 0 时，试讨论是否存在 x0∈(0,12)∪(12,1)x_0 \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}, 1\right)，使得 f(x0)=f(12)f(x_0) = f\left(\frac{1}{2}\right).

2014 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=x3−kx2+xf(x) = x^3 - kx^2 + x（x∈Rx \in \mathbf{R}）.
(1) 当 k=1k = 1 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 k<0k < 0 时，求函数 f(x)f(x) 在 [k,−k][k, -k] 上的最小值 mm 和最大值 MM.

2013 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21不等式★★★★☆
设 a<1a < 1，集合 A={x∈R∣x>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}，B={x∈R∣2x2−3(1+a)x+6a>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid 2x^2 - 3(1 + a)x + 6a > 0\}，D=A∩BD = A \cap B.
(1) 求集合 DD （用区间表示）； (2) 求函数 f(x)=2x3−3(1+a)x2+6axf(x) = 2x^3 - 3(1 + a)x^2 + 6ax 在 DD 内的极值点.

2012 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
21不等式★★★★☆
设 0<a<10 < a < 1，集合 A={x∈R∣x>0}A = \{x \in \mathbf{R} \mid x > 0\}，B={x∈R∣2x2−3(1+a)x+6a>0}B = \{x \in \mathbf{R} \mid 2x^2 - 3(1 + a)x + 6a > 0\}，D=A∩BD = A \cap B.
(1) 求集合 DD （用区间表示）； (2) 求函数 f(x)=2x3−3(1+a)x2+6axf(x) = 2x^{3} - 3(1 + a)x^{2} + 6ax 在 DD 内的极值点.

2012 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★★☆
设 a>0a > 0，讨论函数 f(x)=ln⁡x+a(1−a)x2−2(1−a)xf(x) = \ln x + a(1 - a)x^2 - 2(1 - a)x 的单调性.

2011 · 广东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
21导数及其应用★★★★☆
已知二次函数 y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象与直线 y=2xy = 2x 平行，且 y=g(x)y = g(x) 在 x=−1x = -1 处取得极小值 m−1m - 1（m≠0m \neq 0）. 设 f(x)=g(x)xf(x) = \frac{g(x)}{x}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 上的点 PP 到点 Q(0,2)Q(0,2) 的距离的最小值为 2\sqrt{2}，求 mm 的值； (2) kk（k∈Rk \in \mathbf{R}）如何取值时，函数 y=f(x)−kxy = f(x) - kx 存在零点，并求出零点.

2009 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
18解析几何★★★★☆
设 b>0b > 0，椭圆方程为 x22b2+y2b2=1\frac{x^2}{2b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1，抛物线方程为 x2=8(y−b)x^2 = 8(y - b). 如图所示，过点 F(0,b+2)F(0, b + 2) 作 xx 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 GG. 已知抛物线在点 GG 的切线经过椭圆的右焦点 F1F_1.
(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2) 设 AA，BB 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 PP，使得 △ABP\triangle ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

2008 · 广东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★★☆
设 k∈Rk \in \mathbf{R}，函数
f(x)={11−x,x<1,−x−1,x⩾1,f(x) = \begin{cases} \frac{1}{1 - x}, & x < 1,\\ -\sqrt{x - 1}, & x \geqslant 1, \end{cases}
F(x)=f(x)−kxF(x) = f(x) - kx，x∈Rx \in \mathbf{R}. 试讨论函数 F(x)F(x) 的单调性.

2008 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
20解析几何★★★★☆
设 b>0b > 0，椭圆方程为 x22b2+y2b2=1\frac{x^2}{2b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1，抛物线方程为 x2=8(y−b)x^2 = 8(y - b). 如图所示，过点 F(0,b+2)F(0, b + 2) 作 xx 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 GG. 已知抛物线在点 GG 的切线经过椭圆的右焦点 F1F_1.
(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2) 设 AA，BB 分别是椭圆长轴的左，右端点. 试探究在抛物线上是否存在点 PP，使得 △ABP\triangle ABP 为直角三角形；若存在，请指出共有几个这样的点，并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）.

2008 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
19立体几何初步★★★★☆
如图所示，等腰 △ABC\triangle ABC 的底边 AB=66AB = 6\sqrt{6}，高 CD=3CD = 3，点 EE 是线段 BDBD 上异于点 BB，DD 的动点，点 FF 在 BCBC 边上，且 EF⊥ABEF \perp AB. 现沿 EFEF 将 △BEF\triangle BEF 折起到 △PEF\triangle PEF 的位置，使 PE⊥ACPE \perp AC，记 BE=xBE = x，V(x)V(x) 表示四棱锥 P−ACFEP - ACFE 的体积.
(1) 求 V(x)V(x) 的表达式； (2) 当 xx 为何值时，V(x)V(x) 取得最大值？ (3) 当 V(x)V(x) 取得最大值时，求异面直线 ACAC 与 PFPF 所成的余弦值.

2007 · 广东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
20数列★★★★☆
已知函数 f(x)=x2+x−1f(x) = x^2 + x - 1，α\alpha，β\beta 是方程 f(x)=0f(x) = 0 的两个根（α>β\alpha > \beta），f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导数，设 a1=1a_{1} = 1，an+1=an−f(an)f′(an)a_{n + 1} = a_{n} - \frac{f(a_{n})}{f'(a_{n})}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 求 α\alpha，β\beta 的值； (2) 已知对任意的正整数 nn，都有 an>αa_{n} > \alpha，记 bn=ln⁡an−βan−αb_{n} = \ln \frac{a_{n} - \beta}{a_{n} - \alpha}（n=1n = 1，22，⋯\cdots），求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2007 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
18导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=−x3+3x+2f(x) = -x^3 + 3x + 2 分别在 x1x_1，x2x_2 处取得极小值，极大值. xOyxOy 平面上点 AA，BB 的坐标分别为 (x1,f(x1))(x_1, f(x_1))，(x2,f(x2))(x_2, f(x_2))，该平面上动点 PP 满足 PA→⋅PB→=4\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 4，点 QQ 是点 PP 关于直线 y=2(x−4)y = 2(x - 4) 的对称点，求：
(1) 求点 AA，BB 的坐标； (2) 动点 QQ 的轨迹方程.

2006 · 广东 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=∣1−1x∣f(x) = \left|1 - \frac{1}{x}\right|（x>0x > 0）.
(1) 证明：当 0<a<b0 < a < b，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b) 时，ab>1ab > 1； (2) 点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)（0<x0<10 < x_0 < 1）在曲线 y=f(x)y = f(x) 上，求曲线在点 PP 处的切线与 xx 轴和 yy 轴的正向所围成的三角形面积表达式（用 x0x_0 表示）.

2004 · 广东 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析