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1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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075分导数及其应用★★★★☆
设 a=0.1e0.1a=0.1\mathrm{e}^{0.1}，b=0.11−0.1b=\frac{0.1}{1-0.1}，c=−ln⁡0.9c=-\ln 0.9，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
c<a<bc<a<b
D.
a<c<ba<c<b

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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126分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 及其导函数 f′(x)f'(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，记 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x). 若 f(32−2x)f\left(\frac32-2x\right)，g(2+x)g(2+x) 均为偶函数，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
g(−12)=0g\left(-\frac12\right)=0
C.
f(−1)=f(4)f(-1)=f(4)
D.
g(−1)=g(2)g(-1)=g(2)

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 12 题 · 多选题

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155分导数及其应用★★★★☆
若曲线 y=(x+a)exy=(x+a)\mathrm{e}^x 有两条过坐标原点的切线，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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14解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知 P ⁣(32,0)P\!\left(\dfrac{\sqrt3}{2},0\right)，AA，BB 是圆 C:x2+(y−12)2=36C:x^2+\left(y-\dfrac12\right)^2=36 上的两个动点，满足 PA=PBPA=PB，则 △PAB\triangle PAB 面积的最大值是______.

2020 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，aa，bb，c∈Rc\in\mathbf{R}，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 若 a=b=ca=b=c，f(4)=8f(4)=8，求 aa 的值； (2) 若 a≠ba\ne b，b=cb=c，且 f(x)f(x) 和 f′(x)f'(x) 的零点均在集合 {−3,1,3}\{-3,1,3\} 中，求 f(x)f(x) 的极小值； (3) 若 a=0a=0，0<b≤10<b\le 1，c=1c=1，且 f(x)f(x) 的极大值为 MM，求证：M≤427M\le\dfrac4{27}.

2019 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★★☆
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路. 记两条相互垂直的公路为 l1l_1，l2l_2，山区边界曲线为 CC，计划修建的公路为 ll. 如图所示，MM，NN 为 CC 的两个端点，测得点 MM 到 l1l_1，l2l_2 的距离分别为 5 千米5\text{ 千米} 和 40 千米40\text{ 千米}，点 NN 到 l1l_1，l2l_2 的距离分别为 20 千米20\text{ 千米} 和 2.5 千米2.5\text{ 千米}. 以 l2l_2，l1l_1 所在的直线分别为 xx，yy 轴，建立平面直角坐标系 xOyxOy. 假设曲线 CC 符合函数 y=ax2+by = \dfrac{a}{x^2 + b}（其中 aa，bb 为常数）模型.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 设公路 ll 与曲线 CC 相切于 PP 点，PP 的横坐标为 tt.
(i) 请写出公路 ll 长度的函数解析式 f(t)f(t)，并写出其定义域； (ii) 当 tt 为何值时，公路 ll 的长度最短？求出最短长度.

2015 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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14三角函数★★★★☆
若 △ABC\triangle ABC 的内角满足 sin⁡A+2sin⁡B=2sin⁡C\sin A + \sqrt{2}\sin B = 2\sin C，则 cos⁡C\cos C 的最小值是______.

2014 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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23导数及其应用★★★★☆
已知函数 f0(x)=sin⁡xxf_{0}(x) = \frac{\sin x}{x} （x>0x > 0），设 fn(x)f_{n}(x) 为 fn−1(x)f_{n-1}(x) 的导数，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}.
(1) 求 2f1(π2)+π2f2(π2)2f_{1}\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}f_{2}\left(\frac{\pi}{2}\right) 的值； (2) 证明：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，等式 ∣nfn−1(π4)+π4fn(π4)∣=22\left|n f_{n-1}\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4}f_{n}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right| = \frac{\sqrt{2}}{2} 都成立.

2014 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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14导数及其应用★★★★☆
已知正数 aa，bb，cc 满足 5c−3a⩽b⩽4c−a5c-3a \leqslant b \leqslant 4c-a，cln⁡b⩾a+cln⁡cc \ln b \geqslant a + c \ln c，则 ba\frac{b}{a} 的取值范围是______.

2012 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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12导数及其应用★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 PP 是函数 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x （x>0x>0）的图象上的动点，该图象在 PP 处的切线 ll 交 yy 轴于点 MM. 过点 PP 作 ll 的垂线交 yy 轴于点 NN. 设线段 MNMN 的中点的纵坐标为 tt，则 tt 的最大值是______.

2011 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★★☆
将边长为 1 m1 \mathrm{~m} 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 s=(梯形的周长)2梯形的面积s=\dfrac{\left(\text{梯形的周长}\right)^2}{\text{梯形的面积}}，则 ss 的最小值是______.

2010 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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17三角函数★★★★☆
某兴趣小组测量电视塔 AEAE 的高度 HH（单位：m\mathrm{m}）. 如示意图，垂直放置的标杆 BCBC 的高度 h=4 mh=4 \mathrm{~m}，仰角 ∠ABE=α\angle ABE=\alpha，∠ADE=β\angle ADE=\beta.
(1) 该小组已经测得一组 α\alpha，β\beta 的值，算出了 tan⁡α=1.24\tan\alpha=1.24，tan⁡β=1.20\tan\beta=1.20，请据此算出 HH 的值； (2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 dd（单位：m\mathrm{m}），使 α\alpha 与 β\beta 之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔实际高度为 125 m125 \mathrm{~m}，试问 dd 为多少时，α−β\alpha-\beta 最大.

2010 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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14不等式★★★★☆
设函数 f(x)=ax3−3x+1f(x) = ax^3 - 3x + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}），若对于任意 x∈[−1,1]x \in [-1, 1]，都有 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 成立，则实数 aa 的值为______.

2008 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★★☆
如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCDABCD 的两个顶点 AA，BB 及 CDCD 的中点 PP 处，已知 AB=20 kmAB = 20\,\mathrm{km}，BC=10 kmBC = 10\,\mathrm{km}. 为了处理三家工厂的污水，现要在矩形区域上（含边界），且与 AA，BB 等距离的一点 OO 处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AOAO，BOBO，POPO. 记排污管道的总长度为 y kmy\,\mathrm{km}.
(1) 按下列要求写出函数关系式：
(i) 设 ∠BAO=θ\angle BAO = \theta（rad\mathrm{rad}），将 yy 表示为 θ\theta 的函数； (ii) 设 OP=xOP = x（km\mathrm{km}），将 yy 表示为 xx 的函数. (2) 请你选用上一小问中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.

2008 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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09不等式★★★★☆
已知二次函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^{2} + bx + c 的导数为 f′(x)f'(x)，f′(0)>0f'(0) > 0，对于任意实数 xx 都有 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0，则 f(1)f′(0)\frac{f(1)}{f'(0)} 的最小值为（ ）
A.
33
B.
52\frac{5}{2}
C.
22
D.
32\frac{3}{2}

2007 · 江苏 · 第 9 题 · 选择题

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19解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，过 yy 轴正方向上一点 C(0,c)C(0, c) 任作一直线，与抛物线 y=x2y = x^{2} 相交于 AA，BB 两点，一条垂直于 xx 轴的直线，分别与线段 ABAB 和直线 l:y=−cl: y = -c 交于 PP，QQ.
(1) 若 OA→⋅OB→=2\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2，求 cc 的值； (2) 若 PP 为线段 ABAB 的中点，求证：QAQA 为此抛物线的切线； (3) 试问第 2 小问的逆命题是否成立？说明理由.

2007 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
请您设计一个帐篷. 它下部的形状是高为 1 m1\mathrm{~m} 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m3\mathrm{~m} 的正六棱锥（如图所示）. 试问当帐篷的顶点 OO 到底面中心 O1O_{1} 的距离为多少时，帐篷的体积最大？

2006 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知 a∈Ra \in \mathbf{R}，函数 f(x)=x2∣x−a∣f(x) = x^2 |x - a|.
(1) 当 a=2a = 2 时，求 f(x)=xf(x) = x 使成立的 xx 的集合； (2) 求函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 [1,2][1,2] 上的最小值.

2005 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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