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16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(1x+a)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\frac1x+a\right)\ln(1+x).
(1) 当 a=−1a=-1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，求 aa 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=−1a=-1 时，f(x)=(1x−1)ln⁡(1+x)f(x)=\left(\dfrac1x-1\right)\ln(1+x)，所以 f(1)=0f(1)=0，且
f′(x)=−ln⁡(1+x)x2+1x−11+xf'(x)=-\frac{\ln(1+x)}{x^2}+\frac{\frac{1}{x}-1}{1+x}
因此 f′(1)=−ln⁡2f'(1)=-\ln2，曲线在 (1,f(1))=(1,0)(1,f(1))=(1,0) 处的切线方程为 y=−ln⁡2(x−1)y=-\ln2(x-1)，即 y=−(ln⁡2)x+ln⁡2y=-(\ln2)x+\ln2. \item 当 x>0x>0 时，
f′(x)=1x+a1+x−ln⁡(1+x)x2=x+ax2−(1+x)ln⁡(1+x)x2(1+x)f'(x)=\frac{\frac{1}{x}+a}{1+x}-\frac{\ln(1+x)}{x^2}=\frac{x+ax^2-(1+x)\ln(1+x)}{x^2(1+x)}
由于分母为正，f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增等价于 a≥g(x)a\ge g(x)，其中
g(x)=(1+x)ln⁡(1+x)−xx2g(x)=\frac{(1+x)\ln(1+x)-x}{x^2}
令 h(x)=x22+x−(1+x)ln⁡(1+x)h(x)=\dfrac{x^2}{2}+x-(1+x)\ln(1+x)，则 h(0)=0h(0)=0，且 h′(x)=x−ln⁡(1+x)>0h'(x)=x-\ln(1+x)>0（因为 ln⁡(1+x)<x\ln(1+x)<x），所以 h(x)>0h(x)>0. 因而 g(x)<12g(x)<\dfrac12；另一方面，由两次求导或 ln⁡(1+x)=x−x22+o(x2)\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)，得 lim⁡x→0+g(x)=12\lim_{x\to0^+}g(x)=\dfrac12. 所以 sup⁡x>0g(x)=12\sup_{x>0}g(x)=\dfrac12.
当 a≥12a\ge\dfrac12 时，a≥g(x)a\ge g(x) 对任意 x>0x>0 成立，故 f′(x)>0f'(x)>0，函数在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增；当 a<12a<\dfrac12 时，由 g(x)→12g(x)\to\dfrac12，可取充分小的正数 xx 使 g(x)>ag(x)>a，此时 f′(x)<0f'(x)<0，不满足题意. 因此 aa 的取值范围为 [12,+∞)\left[\dfrac12,+\infty\right). \end{enumerate} \end{solution}

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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09立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡(a−x)f(x)=\ln(a-x)，已知 x=0x=0 是函数 y=xf(x)y=xf(x) 的极值点.
(1) 求 aa； (2) 设函数 g(x)=x+f(x)xf(x)g(x)=\dfrac{x+f(x)}{xf(x)}，证明：g(x)<1g(x)<1.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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12导数及其应用★★★★☆
设 a≠0a\ne0，若 x=ax=a 是函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a\left(x-a\right)^2\left(x-b\right) 的极大值点，则（ ）
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−x2+ax+1f(x)=x^3-x^2+ax+1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y=f(x)y=f(x) 的公共点的坐标.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ex−a(x+2)f(x)=\mathrm{e}^x-a(x+2).
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 有两个零点，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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20概率与统计★★★★☆
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件200\text{ 件}，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取 20 件20\text{ 件} 作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为 pp（0<p<10<p<1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1) 记 20 件20\text{ 件} 产品中恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品的概率为 f(p)f(p)，求 f(p)f(p) 的最大值点 p0p_0； (2) 现对一箱产品检验了 20 件20\text{ 件}，结果恰有 2 件2\text{ 件} 不合格品，以（1）中确定的 p0p_0 作为 pp 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元2\text{ 元}，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元25\text{ 元} 的赔偿费用.
(i) 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 XX，求 EXEX； (ii) 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡x−1f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x-1.
(1) 设 x=2x=2 是 f(x)f(x) 的极值点，求 aa，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 证明：当 a\ge\dfrac1\mathrm{e} 时，f(x)≥0f(x)\ge0.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x2+bx+b)1−2xf(x) = (x^2 + bx + b)\sqrt{1 - 2x}（b∈Rb \in \mathbf{R}）.
(1) 当 b=4b = 4 时，求 f(x)f(x) 的极值； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (0,13)\left(0, \frac{1}{3}\right) 上单调递增，求 bb 的取值范围.

2014 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★★☆
在同一直角坐标系中，函数 y=ax2−x+a2y = ax^{2} - x + \frac{a}{2} 与 y=a2x3−2ax2+x+ay = a^{2}x^{3} - 2ax^{2} + x + a （a∈Ra \in \mathbf{R}） 的图象不可能的是（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(4x2+4ax+a2)xf(x) = (4x^{2} + 4ax + a^{2})\sqrt{x}，其中 a<0a < 0.
(1) 当 a=−4a = -4 时，求 f(x)f(x) 的单调递增区间； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 [1,4][1,4] 上的最小值为 8，求 aa 的值.

2014 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★★☆
如图，半径为 1 的半圆 OO 与等边三角形 ABCABC 夹在两平行线 l1l_{1}，l2l_{2} 之间，l∥l1l \parallel l_{1}，ll 与半圆相交于 FF，GG 两点，与三角形 ABCABC 两边相交于 EE，DD 两点. 设弧 FGFG 的长为 xx（0<x<π0 < x < \pi），y=EB+BC+CDy = EB + BC + CD，若 ll 从 l1l_{1} 平行移动到 l2l_{2}，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
如图，已知 l1⊥l2l_{1} \perp l_{2}，圆心在 l1l_{1} 上，半径为 1 m1 \mathrm{~m} 的圆 OO 在 t=0t = 0 时与 l2l_{2} 相切于点 AA，圆 OO 沿 l1l_{1} 以 1 m/s1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2l_{2} 所截上方圆弧长记为 xx，令 y=cos⁡xy = \cos x，则 yy 与时间 tt（0⩽t⩽10 \leqslant t \leqslant 1，单位：s\mathrm{s}）的函数 y=f(t)y = f(t) 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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21解析几何★★★★☆
已知三点 O(0,0)O(0,0)，A(−2,1)A(-2,1)，B(2,1)B(2,1)，曲线 CC 上任意一点 M(x,y)M(x,y) 满足 ∣MA→+MB→∣=OM→⋅(OA→+OB→)+2\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right| = \overrightarrow{OM} \cdot \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) + 2.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) （−2<x0<2-2 < x_0 < 2） 是曲线 CC 上的动点，曲线 CC 在点 QQ 处的切线为 ll，点 PP 的坐标是 (0,−1)(0, -1)，ll 与 PAPA，PBPB 分别交于点 DD，EE，求 △QAB\triangle QAB 与 △PDE\triangle PDE 的面积之比.

2012 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=−13x3+12x2+2axf(x) = -\frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + 2ax.
(1) 若 f(x)f(x) 在 (23,+∞)\left(\frac{2}{3}, +\infty\right) 上存在单调递增区间，求 aa 的取值范围； (2) 当 0<a<20 < a < 2 时，f(x)f(x) 在 [1,4][1, 4] 上的最小值为 −163-\frac{16}{3}，求 f(x)f(x) 在该区间上的最大值.

2011 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=13x3+mx2+nxf(x) = \frac{1}{3} x^3 + mx^2 + nx.
(1) 如果 g(x)=f′(x)−2x−3g(x) = f'(x) - 2x - 3 在 x=−2x = -2 处取得最小值 −5-5，求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 如果 m+n<10m + n < 10 （mm，n∈N+n \in \mathbf{N}_+），f(x)f(x) 的单调递减区间的长度是正整数，试求 mm 和 nn 的值. （注：区间 (a,b)(a, b) 的长度为 b−ab - a）

2011 · 江西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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11函数与初等函数★★★★☆
如图所示，一质点 P(x,y)P(x, y) 在 xOyxOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 xx 轴上的投影点 Q(x,0)Q(x, 0) 的运动速度 V=V(t)V = V(t) 的图象大致为（ ）
\begin{solution} 把投影点的有向速度记为 V(t)=dxdtV(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}. 质点开始沿斜率不变的直线向右运动，所以 V(t)V(t) 在开始阶段为正常数. 进入第一个封闭曲线后，质点的横坐标先增大、再减小、又增大，因此 V(t)V(t) 依次为正、负、正，并在竖直切线处经过 00. 进入第二个封闭曲线后，横坐标同样经历先增大、再减小、又增大的过程，故 V(t)V(t) 再次出现正、负、正的变化. 选项 A 始终非负，选项 C 开始阶段不是常数，选项 D 的末段变化方向与题图不符，只有选项 B 符合，故选 B. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2009 · 江西 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
若存在过点 (1,0)(1,0) 的直线与曲线 y=x3y = x^3 和 y=ax2+154x−9y = ax^2 + \frac{15}{4} x - 9 都相切，则 aa 等于（ ）
\begin{solution} 设过点 (1,0)(1,0) 且与 y=x3y=x^{3} 相切的切点横坐标为 tt. 切线为 y=3t2x−2t3y=3t^{2}x-2t^{3}，代入 (1,0)(1,0) 得 t2(3−2t)=0t^{2}(3-2t)=0. 因而 t=0t=0 或 t=32t=\frac32，相应切线分别为 y=0y=0 和 y=274x−274y=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4}.
当切线为 y=0y=0 时，与二次曲线联立得 ax2+154x−9=0ax^{2}+\frac{15}{4}x-9=0. 该直线相切要求判别式为零，即 (154)2+36a=0\left(\frac{15}{4}\right)^{2}+36a=0，所以 a=−2564a=-\frac{25}{64}.
当切线为 y=274x−274y=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4} 时，联立得 ax2−3x−94=0ax^{2}-3x-\frac94=0. 判别式为零给出 9+9a=09+9a=0，所以 a=−1a=-1. 因此选 A. \end{solution}
A.
−1-1 或 −2564-\frac{25}{64}
B.
−1-1 或 2164\frac{21}{64}
C.
−74-\frac{7}{4} 或 −2564-\frac{25}{64}
D.
−74-\frac{7}{4} 或 77

2009 · 江西 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=14x4+13ax3−a2x2+a4f(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}ax^3 - a^2x^2 + a^4（a>0a > 0）.
(1) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的单调区间； (2) 若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与直线 y=1y = 1 恰有两个交点，求 aa 的取值范围.

2008 · 江西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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05导数及其应用★★★★☆
若 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则下列命题中正确的是（ ）
A.
sin⁡x<3πx\sin x < \frac{3}{\pi}x
B.
sin⁡x>3πx\sin x > \frac{3}{\pi}x
C.
sin⁡x<4π2x2\sin x < \frac{4}{\pi^{2}}x^{2}
D.
sin⁡x>4π2x2\sin x > \frac{4}{\pi^{2}}x^{2}

2007 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
设 pp：f(x)=ex+ln⁡x+2x2+mx+1f(x) = \mathrm{e}^{x} + \ln x + 2x^{2} + mx + 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内单调递增，qq：m⩾−5m \geqslant -5，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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